ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 286 Алимов — Подробные Ответы

1. 7^2x + 7x-12=0;
2. 9x-3x-12=0;
3. 8^(x+1) — 8^(2x-1) = 30;
4. (1/9)x — 5*(1/3)x + 6=0.

1. $7^{2x} + 7^x — 12 = 0$;
   Пусть $y = 7^x$, тогда:
   $y^2 + y — 12 = 0$;
   $D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
   $y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4$ и $y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$;
   Первое значение:
   $7^x = -4$ — нет корней;
   Второе значение:
   $7^x = 3$;
   $\log_7 7^x = \log_7 3$;
   $x = \log_7 3$;
   Ответ: $x = \log_7 3$.
2. $9^x — 3^x — 12 = 0$;
   $3^{2x} — 3^x — 12 = 0$;
   Пусть $y = 3^x$, тогда:
   $y^2 — y — 12 = 0$;
   $D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
   $y_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3$ и $y_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$;
   Первое значение:
   $3^x = -3$ — нет корней;
   Второе значение:
   $3^x = 4$;
   $\log_3 3^x = \log_3 4$;
   $x = \log_3 4$;
   Ответ: $x = \log_3 4$.
3. $8^{x+1} — 8^{2x-1} = 30$;
   $8 \cdot 8^x — 8^{-1} \cdot 8^{2x} — 30 = 0$;
   $8 \cdot 8^x — \frac{8^{2x}}{8} — 30 = 0$ | $\cdot (-8)$;
   $8^{2x} — 64 \cdot 8^x + 240 = 0$;
   Пусть $y = 8^x$, тогда:
   $y^2 — 64y + 240 = 0$;
   $D = 64^2 — 4 \cdot 240 = 4096 — 960 = 3136$, тогда:
   $y_1 = \frac{64 — 56}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{64 + 56}{2} = 60$;
   Первое значение:
   $8^x = 4$;
   $2^{3x} = 2^2$;
   $3x = 2$, отсюда $x = \frac{2}{3}$;
   Второе значение:
   $8^x = 60$;
   $\log_8 8^x = \log_8 60$;
   $x = \log_8 60$;
   Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}$; $x_2 = \log_8 60$.
4. $\left( \frac{1}{9} \right)^x — 5 \left( \frac{1}{3} \right)^x + 6 = 0$;
   $\left( \frac{1}{3} \right)^{2x} — 5 \left( \frac{1}{3} \right)^x + 6 = 0$;
   Пусть $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$, тогда:
   $y^2 — 5y + 6 = 0$;
   $D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
   $y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
   Первое значение:
   $\left( \frac{1}{3} \right)^x = 2$;
   $\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^x = \log_{\frac{1}{3}} 2$;
   $x = \log_{\frac{1}{3}} 2$;
   Второе значение:
   $\left( \frac{1}{3} \right)^x = 3$;
   $\left( \frac{1}{3} \right)^x = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1}$, отсюда $x = -1$;
   Ответ: $x_1 = \log_{\frac{1}{3}} 2$; $x_2 = -1$.

1) Решим уравнение:

$$7^{2x} + 7^x — 12 = 0$$

Шаг 1: Введём замену

$$y = 7^x$$

Тогда

$$7^{2x} = (7^x)^2 = y^2$$

Шаг 2: Запишем уравнение через $y$:

$$y^2 + y — 12 = 0$$

Шаг 3: Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 4: Найдем корни уравнения по формуле:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 5: Рассмотрим каждый корень:

• $y_1 = -4$. Поскольку $y = 7^x$ — степень положительного числа, $7^x > 0$ для любого $x$. Значит $7^x = -4$ решений не имеет.
• $y_2 = 3$.

$$7^x = 3$$

Шаг 6: Решаем уравнение для $x$ с помощью логарифма по основанию 7:

$$x = \log_7 3$$

Ответ:

$$x = \log_7 3$$

2) Решим уравнение:

$$9^x — 3^x — 12 = 0$$

Шаг 1: Запишем $9^x$ через степень с основанием 3:

$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$3^{2x} — 3^x — 12 = 0$$

Шаг 2: Введём замену

$$y = 3^x$$

Тогда

$$3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$$

Уравнение перепишем:

$$y^2 — y — 12 = 0$$

Шаг 3: Найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 4: Найдем корни:

$$y = \frac{1 \pm 7}{2}$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 — 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 5: Рассмотрим корни:

• $y_1 = -3$ — не может быть равным $3^x$, так как $3^x > 0$ для любого $x$.
• $y_2 = 4$.

$$3^x = 4$$

Шаг 6: Решаем через логарифм по основанию 3:

$$x = \log_3 4$$

Ответ:

$$x = \log_3 4$$

3) Решим уравнение:

$$8^{x+1} — 8^{2x — 1} = 30$$

Шаг 1: Представим степени отдельно:

$$8^{x+1} = 8^x \cdot 8^1 = 8 \cdot 8^x$$ $$8^{2x — 1} = 8^{2x} \cdot 8^{-1} = \frac{8^{2x}}{8}$$

Шаг 2: Перепишем уравнение:

$$8 \cdot 8^x — \frac{8^{2x}}{8} = 30$$

Шаг 3: Приведём к удобному виду:

$$8 \cdot 8^x — \frac{(8^x)^2}{8} = 30$$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$$8 \times \left(8 \cdot 8^x — \frac{(8^x)^2}{8}\right) = 8 \times 30$$ $$64 \cdot 8^x — (8^x)^2 = 240$$

Перепишем:

$$-(8^x)^2 + 64 \cdot 8^x — 240 = 0$$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$$(8^x)^2 — 64 \cdot 8^x + 240 = 0$$

Шаг 4: Введём замену:

$$y = 8^x$$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 64y + 240 = 0$$

Шаг 5: Найдем дискриминант:

$$D = (-64)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 — 960 = 3136$$

Шаг 6: Найдем корни:

$$y = \frac{64 \pm \sqrt{3136}}{2}$$ $$\sqrt{3136} = 56$$

Значит:

$$y_1 = \frac{64 — 56}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60$$

Шаг 7: Рассмотрим корни:

• $y_1 = 4$. Тогда

$$8^x = 4$$

Перепишем $8$ и $4$ в виде степеней двойки:

$$8 = 2^3, \quad 4 = 2^2$$

Тогда:

$$(2^3)^x = 2^2 \implies 2^{3x} = 2^2$$

Приравниваем показатели степеней:

$$3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$$

• $y_2 = 60$.

$$8^x = 60$$

Тогда

$$x = \log_8 60$$

Ответ:

$$x_1 = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \log_8 60$$

4) Решим уравнение:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^x — 5 \left(\frac{1}{3}\right)^x + 6 = 0$$

Шаг 1: Запишем $\left(\frac{1}{9}\right)^x$ через $\left(\frac{1}{3}\right)^x$:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$$

Тогда уравнение:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} — 5 \left(\frac{1}{3}\right)^x + 6 = 0$$

Шаг 2: Введём замену:

$$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$$

Тогда

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Шаг 3: Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Шаг 4: Найдем корни:

$$y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 5: Рассмотрим корни:

• $y_1 = 2$.

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 2$$

Берём логарифм по основанию $\frac{1}{3}$:

$$x = \log_{\frac{1}{3}} 2$$

• $y_2 = 3$.

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3$$

Преобразуем правую часть:

$$3 = \frac{1}{3}^{-1}$$

Следовательно:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$$

Приравниваем показатели степеней:

$$x = -1$$

Ответ:

$$x_1 = \log_{\frac{1}{3}} 2, \quad x_2 = -1$$