ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 262 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 2^{x-y} = 128 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = \frac{1}{8} \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2^{x-y} = 2^7 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 7 \\ x — 2y + 1 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 7 + y \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$ $$7 + y = 2y + 2;$$ $$-y = -5, \text{отсюда } y = 5;$$ $$x = 7 + 5 = 12;$$

Ответ: $(12; 5)$.

2)

$$\begin{cases} 2^x \cdot 5^y = 10 \\ 5^y — 2^x = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x \cdot 5^y — 10 = 0 \\ 5^y = 2^x + 3 \end{cases}$$ $$2^x \cdot (2^x + 3) — 10 = 0;$$ $$2^{2x} + 3 \cdot 2^x — 10 = 0;$$

Пусть $z = 2^x$, тогда:

$$z^2 + 3z — 10 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}$$ $$z_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \text{ и } z_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;$$

Уравнение имеет решения при:

$$z > 0, \text{значит } z = 2;$$

Значение переменной $x$:

$$2^x = 2, \text{отсюда } x = 1;$$

Значение переменной $y$:

$$5^y = 2 + 3;$$ $$5^y = 5, \text{отсюда } y = 1;$$

Ответ: $(1; 1)$.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} 2^{x — y} = 128 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x — 2y + 1} = \frac{1}{8} \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение с основанием 128

Заметим, что 128 — это степень двойки:

$$128 = 2^7,$$

значит:

$$2^{x — y} = 2^7 \Rightarrow x — y = 7. \quad \text{(1)}$$

Шаг 2: Преобразуем второе уравнение

Во втором уравнении:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x — 2y + 1} = \frac{1}{8}$$

Запишем обе части через степень двойки:

• $\frac{1}{2} = 2^{-1}$,
• $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Тогда:

$$\left(2^{-1}\right)^{x — 2y + 1} = 2^{-3} \Rightarrow 2^{-(x — 2y + 1)} = 2^{-3}$$

Теперь можно приравнять показатели степени:

$$-(x — 2y + 1) = -3 \Rightarrow x — 2y + 1 = 3. \quad \text{(2)}$$

Шаг 3: Решаем систему линейных уравнений

Итак, имеем:

$$\begin{cases} x — y = 7 \quad \text{(1)} \\ x — 2y + 1 = 3 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Преобразуем (1):

$$x = y + 7$$

Подставим это значение в уравнение (2):

$$(y + 7) — 2y + 1 = 3 \Rightarrow -y + 8 = 3 \Rightarrow -y = -5 \Rightarrow y = 5$$

Теперь найдём $x$:

$$x = y + 7 = 5 + 7 = 12$$

Ответ к первому пункту:

$$\boxed{(12;\ 5)}$$

2)

Дана система:

$$\begin{cases} 2^x \cdot 5^y = 10 \quad \text{(1)} \\ 5^y — 2^x = 3 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $5^y$ из второго уравнения

Из уравнения (2):

$$5^y = 2^x + 3 \quad \text{(3)}$$

Шаг 2: Подставим (3) в уравнение (1)

Подставим $5^y$ в первое уравнение:

$$2^x \cdot (2^x + 3) = 10$$

Раскроем скобки:

$$2^x \cdot 2^x + 2^x \cdot 3 = 10 \Rightarrow 2^{2x} + 3 \cdot 2^x = 10$$

Шаг 3: Введём замену переменной

Пусть:

$$z = 2^x \Rightarrow z > 0$$

Подставим в уравнение:

$$z^2 + 3z = 10 \Rightarrow z^2 + 3z — 10 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Найдём дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$$

Найдём корни:

$$z_1 = \frac{-3 — 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \quad (\text{не подходит, т.к. } z > 0)$$ $$z_2 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 5: Найдём $x$

Если $z = 2$, а $z = 2^x$, то:

$$2^x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 6: Найдём $y$

Подставим $x = 1$ в уравнение (3):

$$5^y = 2^x + 3 = 2 + 3 = 5 \Rightarrow 5^y = 5 \Rightarrow y = 1$$

Ответ ко второму пункту:

$$\boxed{(1;\ 1)}$$

Финальный ответ:

1. $\boxed{(12;\ 5)}$
2. $\boxed{(1;\ 1)}$