ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 220 Алимов — Подробные Ответы

1. (0,5)^(x2-4x+3) = (0,5)^(2×2+x+3);
2. (0,1)^(3+2x) = (0,1)^(2-x);
3. 3^(корень (x-6))=3x
4. (1/3)x = (1/3)^(корень (2-x)).

1)
$(0.5)^{x^2 — 4x + 3} = (0.5)^{2x^2 + x + 3};$
$x^2 — 4x + 3 = 2x^2 + x + 3;$
$x^2 + 5x = 0;$
$(x + 5)x = 0;$
$x_1 = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = 0;$
Ответ: $x_1 = -5; \quad x_2 = 0$.

2)
$(0.1)^{3 + 2x} = (0.1)^{2 — x^2};$
$3 + 2x = 2 — x^2;$
$x^2 + 2x + 1 = 0;$
$(x + 1)^2 = 0;$
$x + 1 = 0, \text{отсюда } x = -1;$
Ответ: $x = -1$.

3)
$3^{\sqrt{x-6}} = 3^x;$
$\sqrt{x-6} = x;$
$x — 6 = x^2;$
$x^2 — x + 6 = 0;$
$D = 1^2 — 4 \cdot 6 = 1 — 24 = -23;$
$D < 0, \text{значит корней нет; }$
Ответ: нет решений.

4)
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2-x}};$
$x = \sqrt{2 — x};$
$x^2 = 2 — x;$
$x^2 + x — 2 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда: }$
$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$
Выражение имеет смысл при:
$2 — x \geq 0, \text{отсюда } x \leq 2;$
Уравнение имеет решения при:
$x \geq 0;$
Ответ: $x = 1$.

1)
Уравнение:

$$(0.5)^{x^2 — 4x + 3} = (0.5)^{2x^2 + x + 3}$$

Шаг 1: Применение свойства равенства степеней с одинаковым основанием

Когда в уравнении равны степени с одинаковым основанием, мы можем приравнять показатели степени:

$$x^2 — 4x + 3 = 2x^2 + x + 3$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 — 4x + 3 — 2x^2 — x — 3 = 0$$

Упрощаем:

$$x^2 — 2x^2 — 4x — x + 3 — 3 = 0$$ $$-x^2 — 5x = 0$$

Шаг 3: Вынесение общего множителя

Вынесем минус и общий множитель:

$$-(x^2 + 5x) = 0$$ $$x^2 + 5x = 0$$

Шаг 4: Разложение на множители

Разложим на множители:

$$x(x + 5) = 0$$

Шаг 5: Решение уравнения

Из этого уравнения получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -5$$

Ответ: $x_1 = -5; \quad x_2 = 0$.

2)
Уравнение:

$$(0.1)^{3 + 2x} = (0.1)^{2 — x^2}$$

Шаг 1: Применение свойства равенства степеней с одинаковым основанием

По аналогии с предыдущим, приравниваем показатели степеней:

$$3 + 2x = 2 — x^2$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 + 2x + 1 = 0$$

Шаг 3: Разложение на множители

Это уравнение — полное квадратное. Разлагаем его на множители:

$$(x + 1)^2 = 0$$

Шаг 4: Решение уравнения

Из этого уравнения находим корень:

$$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Ответ: $x = -1$.

3)
Уравнение:

$$3^{\sqrt{x-6}} = 3^x$$

Шаг 1: Применение свойства равенства степеней с одинаковым основанием

Приравниваем показатели степеней:

$$\sqrt{x-6} = x$$

Шаг 2: Возведение обеих сторон в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$x — 6 = x^2$$

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 — x + 6 = 0$$

Шаг 4: Вычисление дискриминанта

Вычисляем дискриминант для этого квадратного уравнения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 — 24 = -23$$

Шаг 5: Анализ дискриминанта

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных решений.

Ответ: нет решений.

4)
Уравнение:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2-x}}$$

Шаг 1: Применение свойства равенства степеней с одинаковым основанием

Приравниваем показатели степеней:

$$x = \sqrt{2 — x}$$

Шаг 2: Возведение обеих сторон в квадрат

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x^2 = 2 — x$$

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Шаг 4: Вычисление дискриминанта

Вычисляем дискриминант для этого квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 5: Нахождение корней

Находим корни с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 6: Проверка допустимости решений

Выражение $\sqrt{2 — x}$ имеет смысл, если $2 — x \geq 0$, то есть $x \leq 2$. Таким образом, $x = -2$ не подходит, потому что оно не удовлетворяет этому условию.

Также, уравнение имеет смысл только при $x \geq 0$, то есть $x = -2$ не является решением.

Ответ: $x = 1$.