ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 216 Алимов — Подробные Ответы

1. 10x = корень 3 степени 100;
2. 10x = корень 4 степени 10 000;
3. 225^(2×2-24) =15;
4. 10x=1/корень 4 степени 10 000;
5. (корень 10)x = 10 ^(x2-x);
6. 100^(x2-1) = 10^(1-5x).

1)
$10^x = \sqrt[3]{100};$
$10^x = \sqrt[3]{10^2};$
$10^x = 10^{\frac{2}{3}};$
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

2)
$10^x = \sqrt[5]{10\,000};$
$10^x = \sqrt[5]{10^4};$
$10^x = 10^{\frac{4}{5}};$
$x = \frac{4}{5} = 0.8;$
Ответ: $x = 0.8$.

3)
$225^{2x^2 — 2} = 15;$
$15^{2(2x^2 — 24)} = 15^1;$
$2(2x^2 — 24) = 1;$
$4x^2 — 48 = 1;$
$4x^2 = 49;$
$x^2 = \frac{49}{4};$
$x = \pm \sqrt{\frac{49}{4}} = \pm \frac{7}{2} = \pm 3.5;$
Ответ: $x = \pm 3.5$.

4)
$10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}};$
$10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10^4}};$
$10^x = \frac{1}{10};$
$10^x = 10^{-1};$
Ответ: $x = -1$.

5)
$(\sqrt{10})^x = 10^{x^2 — x};$
$\left(10^{\frac{1}{2}}\right)^x = 10^{x^2 — x};$
$10^{\frac{x}{2}} = 10^{x^2 — x};$
$\frac{x}{2} = x^2 — x;$
$x = 2x^2 — 2x;$
$2x^2 — 3x = 0;$
$x(2x — 3) = 0;$
$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3}{2} = 1.5;$
Ответ: $x_1 = 0; \quad x_2 = 1.5$.

6)
$100^{x^2 — 1} = 10^{1 — 5x};$
$10^{2(x^2 — 1)} = 10^{1 — 5x};$
$2(x^2 — 1) = 1 — 5x;$
$2x^2 — 2 = 1 — 5x;$
$2x^2 + 5x — 3 = 0;$
$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49;$
$x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3;$
$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5;$
Ответ: $x_1 = -3; \quad x_2 = 0.5$.

1) $10^x = \sqrt[3]{100}$

У нас есть уравнение:

$$10^x = \sqrt[3]{100}$$

Заменим корень на степень:

$$10^x = \sqrt[3]{10^2}$$

Пояснение: 100 можно записать как $10^2$, и кубический корень из $10^2$ — это $10^{\frac{2}{3}}$.

Теперь у нас получается:

$$10^x = 10^{\frac{2}{3}}$$

Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$x = \frac{2}{3}$$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

2) $10^x = \sqrt[5]{10\,000}$

Изначальное уравнение:

$$10^x = \sqrt[5]{10\,000}$$

Запишем 10 000 как степень десятки:

$$10^x = \sqrt[5]{10^4}$$

Теперь примем корень пятой степени:

$$10^x = 10^{\frac{4}{5}}$$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$$x = \frac{4}{5}$$

Ответ: $x = 0.8$.

3) $225^{2x^2 — 2} = 15$

Давайте представим 225 как степень 15:

$$225 = 15^2$$

Тогда уравнение будет выглядеть так:

$$(15^2)^{2x^2 — 2} = 15$$

Применяем правило степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$15^{2(2x^2 — 2)} = 15^1$$

Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$2(2x^2 — 2) = 1$$

Раскрываем скобки:

$$4x^2 — 4 = 1$$

Переносим все в одну сторону:

$$4x^2 = 5$$

Разделим обе стороны на 4:

$$x^2 = \frac{5}{4}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm \sqrt{\frac{5}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Таким образом, $x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.

4) $10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}}$

Начальное уравнение:

$$10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}}$$

Представим $10\,000$ как степень десятки:

$$10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10^4}}$$

Извлекаем четвёртый корень:

$$10^x = \frac{1}{10}$$

Запишем это как степень 10:

$$10^x = 10^{-1}$$

Приравниваем показатели степеней:

$$x = -1$$

Ответ: $x = -1$.

5) $(\sqrt{10})^x = 10^{x^2 — x}$

Начальное уравнение:

$$(\sqrt{10})^x = 10^{x^2 — x}$$

Представим $\sqrt{10}$ как степень десятки:

$$\left(10^{\frac{1}{2}}\right)^x = 10^{x^2 — x}$$

Применяем правило степени степени:

$$10^{\frac{x}{2}} = 10^{x^2 — x}$$

Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$\frac{x}{2} = x^2 — x$$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$x = 2x^2 — 2x$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 — 3x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(2x — 3) = 0$$

Получаем два возможных решения:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1.5$.

6) $100^{x^2 — 1} = 10^{1 — 5x}$

Начальное уравнение:

$$100^{x^2 — 1} = 10^{1 — 5x}$$

Представим $100$ как степень 10:

$$(10^2)^{x^2 — 1} = 10^{1 — 5x}$$

Применяем правило степени степени:

$$10^{2(x^2 — 1)} = 10^{1 — 5x}$$

Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$2(x^2 — 1) = 1 — 5x$$

Раскрываем скобки:

$$2x^2 — 2 = 1 — 5x$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 + 5x — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Ответ: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0.5$.

Таким образом, решения задач:

1. $x = \frac{2}{3}$
2. $x = 0.8$
3. $x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
4. $x = -1$
5. $x_1 = 0$, $x_2 = 1.5$
6. $x_1 = -3$, $x_2 = 0.5$