ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 209 Алимов — Подробные Ответы

1. 27x= 1/3;
2. 400x = 1/20;
3. (1/5)x=25;
4. (1/3)x=1/81.

$27^x = \frac{1}{3}$;
$(3^3)^x = 3^{-1}$;
$3^{3x} = 3^{-1}$;
$3x = -1$, отсюда $x = -\frac{1}{3}$;
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

$400^x = \frac{1}{20}$;
$(20^2)^x = 20^{-1}$;
$20^{2x} = 20^{-1}$;
$2x = -1$, отсюда $x = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $x = -0.5$.

$\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$;
$(5^{-1})^x = 5^2$;
$5^{-x} = 5^2$;
$-x = 2$, отсюда $x = -2$;
Ответ: $x = -2$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$;
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^4$, отсюда $x = 4$;
Ответ: $x = 4$.

1) $27^x = \frac{1}{3}$

Шаг 1: Запишем 27 и $\frac{1}{3}$ через основание 3.
Мы знаем, что:

$$27 = 3^3 \quad \text{и} \quad \frac{1}{3} = 3^{-1}.$$

Таким образом, уравнение $27^x = \frac{1}{3}$ можно переписать как:

$$(3^3)^x = 3^{-1}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению слева:

$$3^{3x} = 3^{-1}.$$

Шаг 3: Теперь у нас уравнение с одинаковыми основаниями $3^{3x} = 3^{-1}$. Так как основания одинаковые, то показатели степеней должны быть равны:

$$3x = -1.$$

Шаг 4: Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$$3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3}.$$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

2) $400^x = \frac{1}{20}$

Шаг 1: Запишем 400 и $\frac{1}{20}$ через основание 20.
Мы знаем, что:

$$400 = 20^2 \quad \text{и} \quad \frac{1}{20} = 20^{-1}.$$

Таким образом, уравнение $400^x = \frac{1}{20}$ можно переписать как:

$$(20^2)^x = 20^{-1}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению слева:

$$20^{2x} = 20^{-1}.$$

Шаг 3: Теперь у нас уравнение с одинаковыми основаниями $20^{2x} = 20^{-1}$. Так как основания одинаковые, то показатели степеней должны быть равны:

$$2x = -1.$$

Шаг 4: Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$$2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}.$$

Ответ: $x = -0.5$.

3) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$

Шаг 1: Запишем $\frac{1}{5}$ и 25 через основание 5.
Мы знаем, что:

$$\frac{1}{5} = 5^{-1} \quad \text{и} \quad 25 = 5^2.$$

Таким образом, уравнение $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$ можно переписать как:

$$(5^{-1})^x = 5^2.$$

Шаг 2: Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению слева:

$$5^{-x} = 5^2.$$

Шаг 3: Теперь у нас уравнение с одинаковыми основаниями $5^{-x} = 5^2$. Так как основания одинаковые, то показатели степеней должны быть равны:

$$-x = 2.$$

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно $x$:

$$-x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

Ответ: $x = -2$.

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$

Шаг 1: Запишем $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{81}$ через основание 3.
Мы знаем, что:

$$\frac{1}{3} = 3^{-1} \quad \text{и} \quad \frac{1}{81} = 3^{-4}.$$

Таким образом, уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$ можно переписать как:

$$(3^{-1})^x = 3^{-4}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению слева:

$$3^{-x} = 3^{-4}.$$

Шаг 3: Теперь у нас уравнение с одинаковыми основаниями $3^{-x} = 3^{-4}$. Так как основания одинаковые, то показатели степеней должны быть равны:

$$-x = -4.$$

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно $x$:

$$-x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Ответ: $x = 4$.

Итоговые ответы:

1. $x = -\frac{1}{3}$
2. $x = -0.5$
3. $x = -2$
4. $x = 4$