ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 165 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 3 — x \leq 2 \\ 2x + 1 \leq 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -x \leq -1 \\ 2x \leq 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq 1.5 \end{cases}$$

Ответ:

$1 \leq x \leq 1.5$

.

2)

$$\begin{cases} x^2 — 1 \geq 0 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x + 1)(x — 1) \geq 0 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq -1 \text{ и } x \geq 1 \\ x > 2 \end{cases}$$

Ответ:

$x > 2$

.

3)

$$\begin{cases} 9 — x^2 \leq 0 \\ x + 5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x + 3)(x — 3) \geq 0 \\ x < -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq -3 \text{ и } x \geq 3 \\ x < -5 \end{cases}$$

Ответ:

$x < -5$

.

1)
Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 3 — x \leq 2 \\ 2x + 1 \leq 4 \end{cases}$$

Рассмотрим первое неравенство:

$$3 — x \leq 2$$

Преобразуем его:

$$-x \leq -1$$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$$x \geq 1$$

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$2x + 1 \leq 4$$

Преобразуем его:

$$2x \leq 3$$

Разделим обе части на 2:

$$x \leq 1.5$$

Объединяем оба неравенства:

$$x \geq 1 \quad \text{и} \quad x \leq 1.5$$

Таким образом, решение системы неравенств:

$$1 \leq x \leq 1.5$$

Ответ:

$1 \leq x \leq 1.5$

.

2)
Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2 — 1 \geq 0 \\ x > 2 \end{cases}$$

Рассмотрим первое неравенство:

$$x^2 — 1 \geq 0$$

Это выражение можно факторизовать:

$$(x + 1)(x — 1) \geq 0$$

Теперь решим неравенство

$(x + 1)(x — 1) \geq 0$

. Чтобы решить это, найдем нули выражения:

$$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

$$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Теперь определим знаки произведения

$(x + 1)(x — 1)$

на интервалах:

• Для
  $x < -1$ 

  оба множителя отрицательны, произведение положительное.

• Для
  $-1 < x < 1$ 

  один множитель отрицателен, а другой положителен, произведение отрицательное.

• Для
  $x > 1$ 

  оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах

$(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$x > 2$$

Это неравенство указывает на то, что

$x$

должно быть строго больше 2.

Объединяем два условия:

• 
  $x \geq -1$ 

  и $x \leq 1$ 

  из первого неравенства,

• 
  $x > 2$ 

  из второго неравенства.

Таким образом, совместные решения возможны только на интервале

$x > 2$

.

Ответ:

$x > 2$

.

3)
Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 9 — x^2 \leq 0 \\ x + 5 < 0 \end{cases}$$

Рассмотрим первое неравенство:

$$9 — x^2 \leq 0$$

Преобразуем его:

$$x^2 \geq 9$$

Решим это неравенство:

$$x \geq 3 \quad \text{или} \quad x \leq -3$$

Таким образом, решения этого неравенства — интервал

$(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$

.

Рассмотрим второе неравенство:

$$x + 5 < 0$$

Преобразуем его:

$$x < -5$$

Это неравенство ограничивает

$x$

значениями, меньшими -5.

Объединяем два условия:

• 
  $x \leq -3$ 

  или $x \geq 3$ 

  из первого неравенства,

• 
  $x < -5$ 

  из второго неравенства.

Таким образом, совместное решение возможно только для интервала

$x < -5$

.

Ответ:

$x < -5$

.

Итоговые ответы:

1. 
   $1 \leq x \leq 1.5$ 

   .

2. 
   $x > 2$ 

   .

3. 
   $x < -5$ 

   .