ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 162 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x-6) = -x2;
2. корень 3 степени x = (x-1)2;
3. корень (x+1) = x2-7;
4. x3-1= корень (x+1).

1)

$$\sqrt{x — 6} = -x^2;$$

$y = \sqrt{x — 6}$

— уравнение ветви параболы:

$$x — 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 6 \quad \text{и} \quad y \geq 0;$$

$y = -x^2$

— уравнение параболы:

$$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = -0^2 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: корней нет.

2)

$$\sqrt[3]{x} = (x — 1)^2;$$

$y = \sqrt[3]{x}$

— уравнение кубической параболы:

$$x \in \mathbb{R} \quad \text{и} \quad y \in \mathbb{R};$$

$y = (x — 1)^2$

— уравнение параболы:

$$x_0 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 1 \quad \text{и} \quad y_0 = (1 — 1)^2 = 0;$$

Графики функций:

Ответ: два корня.

3)

$$\sqrt{x + 1} = x^2 — 7;$$

$y = \sqrt{x + 1}$

— уравнение ветви параболы:

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1 \quad \text{и} \quad y \geq 0;$$

$y = x^2 — 7$

— уравнение параболы:

$$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0^2 — 7 = -7;$$

Графики функций:

Ответ: один корень.

4)

$$x^3 — 1 = \sqrt{x + 1};$$

$y = x^3 — 1$

— уравнение кубической параболы:

$$x \in \mathbb{R} \quad \text{и} \quad y \in \mathbb{R};$$

$y = \sqrt{x + 1}$

— уравнение ветви параболы:

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1 \quad \text{и} \quad y \geq 0;$$

Графики функций:

Ответ: один корень.

1)
Уравнение:

$$\sqrt{x — 6} = -x^2;$$

Исследуем функцию

$y = \sqrt{x — 6}$

:
Это уравнение ветви параболы. Чтобы значение под корнем было определено, нужно:

$$x — 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 6.$$

Таким образом,

$x \geq 6$

и

$y \geq 0$

, так как корень из любого числа всегда неотрицателен.

Вычислим несколько значений для

$y = \sqrt{x — 6}$

:

• При
  $x = 6$ 

  : $y = \sqrt{6 — 6} = 0$ 

  .

• При
  $x = 10$ 

  : $y = \sqrt{10 — 6} = \sqrt{4} = 2$ 

  .

• При
  $x = 22$ 

  : $y = \sqrt{22 — 6} = \sqrt{16} = 4$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Исследуем функцию

$y = -x^2$

:
Это уравнение параболы, открывающейся вниз. Для

$x = 0$

имеем:

$$y_0 = -0^2 = 0.$$

Некоторые другие значения:

• При
  $x = -4$ 

  : $y = -(-4)^2 = -16$ 

  .

• При
  $x = -2$ 

  : $y = -(-2)^2 = -4$ 

  .

• При
  $x = 2$ 

  : $y = -(2)^2 = -4$ 

  .

• При
  $x = 5$ 

  : $y = -(5)^2 = -16$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Графики функций:

• График
  $y = \sqrt{x — 6}$ 

  является ветвью параболы, расположенной в правой части оси $x$ 

  , начиная с точки $(6, 0)$ 

  .

• График
  $y = -x^2$ 

  — это обычная парабола, открывающаяся вниз, которая имеет значения ниже оси $x$ 

  для всех $x \neq 0$ 

  .

Из графиков видно, что они не пересекаются. Это означает, что у уравнения нет решений.

Ответ: Корней нет.

2)
Уравнение:

$$\sqrt[3]{x} = (x — 1)^2;$$

Исследуем функцию

$y = \sqrt[3]{x}$

:
Это кубическая парабола, которая определена для всех

$x \in \mathbb{R}$

. Важно заметить, что кубический корень существует для любых

$x$

.

Рассчитаем несколько значений:

• При
  $x = -8$ 

  : $y = \sqrt[3]{-8} = -2$ 

  .

• При
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt[3]{-1} = -1$ 

  .

• При
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt[3]{0} = 0$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  : $y = \sqrt[3]{1} = 1$ 

  .

• При
  $x = 8$ 

  : $y = \sqrt[3]{8} = 2$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Исследуем функцию

$y = (x — 1)^2$

:
Это парабола, открывающаяся вверх. Для

$x_0 = 1$

имеем:

$$y_0 = (1 — 1)^2 = 0.$$

Рассчитаем несколько других значений:

• При
  $x = -2$ 

  : $y = (-2 — 1)^2 = (-3)^2 = 9$ 

  .

• При
  $x = -1$ 

  : $y = (-1 — 1)^2 = (-2)^2 = 4$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  : $y = (1 — 1)^2 = 0$ 

  .

• При
  $x = 2$ 

  : $y = (2 — 1)^2 = 1^2 = 1$ 

  .

• При
  $x = 3$ 

  : $y = (3 — 1)^2 = 2^2 = 4$ 

  .

• При
  $x = 4$ 

  : $y = (4 — 1)^2 = 3^2 = 9$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Графики функций:

• График
  $y = \sqrt[3]{x}$ 

  — это кубическая парабола, которая проходит через начало координат.

• График
  $y = (x — 1)^2$ 

  — это парабола, которая открывается вверх и имеет минимум в точке $(1, 0)$ 

  .

При пересечении этих графиков видно, что они пересекаются в двух точках:

$x = 0$

и

$x = 2$

.

Ответ: Два корня.

3)
Уравнение:

$$\sqrt{x + 1} = x^2 — 7;$$

Исследуем функцию

$y = \sqrt{x + 1}$

:
Это уравнение ветви параболы. Чтобы значение под корнем было определено, нужно:

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1.$$

Рассчитаем несколько значений:

• При
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt{-1 + 1} = 0$ 

  .

• При
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt{0 + 1} = 1$ 

  .

• При
  $x = 3$ 

  : $y = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ 

  .

• При
  $x = 8$ 

  : $y = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Исследуем функцию

$y = x^2 — 7$

:
Это парабола, открывающаяся вверх. Для

$x = 0$

:

$$y_0 = 0^2 — 7 = -7.$$

Рассчитаем несколько значений:

• При
  $x = -3$ 

  : $y = (-3)^2 — 7 = 9 — 7 = 2$ 

  .

• При
  $x = -2$ 

  : $y = (-2)^2 — 7 = 4 — 7 = -3$ 

  .

• При
  $x = -1$ 

  : $y = (-1)^2 — 7 = 1 — 7 = -6$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  : $y = (1)^2 — 7 = 1 — 7 = -6$ 

  .

• При
  $x = 2$ 

  : $y = (2)^2 — 7 = 4 — 7 = -3$ 

  .

• При
  $x = 3$ 

  : $y = (3)^2 — 7 = 9 — 7 = 2$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Графики функций:

• График
  $y = \sqrt{x + 1}$ 

  — это ветвь параболы, которая начинается с точки $(-1, 0)$ 

  и растет вверх.

• График
  $y = x^2 — 7$ 

  — это парабола, открывающаяся вверх.

Графики пересекаются в одной точке, что подтверждается пересечением в

$x = 3$

.

Ответ: Один корень.

4)
Уравнение:

$$x^3 — 1 = \sqrt{x + 1};$$

Исследуем функцию

$y = x^3 — 1$

:
Это кубическая парабола, определенная для всех

$x \in \mathbb{R}$

.

Рассчитаем несколько значений:

• При
  $x = -2$ 

  : $y = (-2)^3 — 1 = -8 — 1 = -9$ 

  .

• При
  $x = -1$ 

  : $y = (-1)^3 — 1 = -1 — 1 = -2$ 

  .

• При
  $x = 0$ 

  : $y = (0)^3 — 1 = 0 — 1 = -1$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  : $y = (1)^3 — 1 = 1 — 1 = 0$ 

  .

• При
  $x = 2$ 

  : $y = (2)^3 — 1 = 8 — 1 = 7$ 

  .

Получаем таблицу значений:

Исследуем функцию

$y = \sqrt{x + 1}$

:
Это ветвь параболы, определенная для

$x \geq -1$

.

Рассчитаем несколько значений:

• При
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt{-1 + 1} = 0$ 

  .

• При
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt{0 + 1} = 1$ 

  .

• При
  $x = 3$ 

  : $y = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ 

  .

• При
  $x = 8$ 

  : $$y = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$$ 

Получаем таблицу значений:

Графики функций:

• График
  $y = x^3 — 1$ 

  — это кубическая парабола.

• График
  $y = \sqrt{x + 1}$ 

  — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1, 0)$ 

  .

Графики пересекаются в одной точке.

Ответ: Один корень.

Итоговые ответы:

1. Корней нет.
2. Два корня.
3. Один корень.
4. Один корень.