ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 152 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. корень (x+1)=3;
2. корень (x-2)=5;
3. корень (4+x)= корень (2x-1)

1)$$\sqrt{x + 1} = 3;$$

$$x + 1 = 9;$$

$$x = 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \geq 0;$$

$$x \geq -1;$$

Ответ: x = 8.

2)$$\sqrt{x — 2} = 5;$$

$$x — 2 = 25;$$

$$x = 27;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 \geq 0;$$

$$x \geq 2;$$

Ответ: x = 27.

3)$$\sqrt{4 + x} = \sqrt{2x — 1};$$

$$4 + x = 2x — 1;$$

$$2x — x = 4 + 1;$$

$$x = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$4 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -4;$$

$$2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2};$$

Ответ: x = 5.

1)

Дано уравнение:

$$\sqrt{x + 1} = 3.$$

Шаг 1. Устранение квадратного корня

По определению квадратного корня, если

$$\sqrt{A} = B,$$

то возведением обеих частей в квадрат получаем:

$$A = B^2.$$

Применим это правило к нашему уравнению:

$$(\sqrt{x + 1})^2 = 3^2.$$

$$x + 1 = 9.$$

Шаг 2. Вычисление значения x

Решаем простое уравнение:

$$x = 9 — 1.$$

$$x = 8.$$

Шаг 3. Область допустимых значений (ОДЗ)

Квадратный корень определён только при неотрицательном подкоренном выражении:

$$x + 1 \geq 0.$$

$$x \geq -1.$$

Так как найденное значение x = 8 удовлетворяет этому условию, оно является решением.

Ответ: x = 8.

2)

Дано уравнение:

$$\sqrt{x — 2} = 5.$$

Шаг 1. Возведение в квадрат

Аналогично первому примеру:

$$(\sqrt{x — 2})^2 = 5^2.$$

$$x — 2 = 25.$$

Шаг 2. Решение уравнения

$$x = 25 + 2.$$

$$x = 27.$$

Шаг 3. Область допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x — 2 \geq 0.$$

$$x \geq 2.$$

Так как найденное значение x = 27 удовлетворяет этому условию, оно является решением.

Ответ: x = 27.

3)

Дано уравнение:

$$\sqrt{4 + x} = \sqrt{2x — 1}.$$

Шаг 1. Возведение в квадрат

Квадратные корни на обеих сторонах уравнения можно просто убрать, так как обе части выражены через корни:

$$( \sqrt{4 + x} )^2 = ( \sqrt{2x — 1} )^2.$$

$$4 + x = 2x — 1.$$

Шаг 2. Решение уравнения

Перенесём все слагаемые, содержащие x, в одну сторону, а числа — в другую:

$$4 + x — x = 2x — x — 1.$$

$$4 + 1 = 2x — x.$$

$$5 = x.$$

Шаг 3. Область допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы исходное уравнение имело смысл, выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$$4 + x \geq 0.$$

$$x \geq -4.$$

$$2x — 1 \geq 0.$$

$$2x \geq 1.$$

$$x \geq \frac{1}{2}.$$

Объединяем условия:

$$x \geq \frac{1}{2}.$$

Так как найденное значение x = 5 удовлетворяет этому условию, оно является решением.

Ответ: x = 5.