ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 139 Алимов — Подробные Ответы

Ранвосильны ли следующие уравнения:

1. 3x — 7 = 5x + 5 и 2x+12 =0;
2. 1/5 (2x-1)=1 и (3x-1)/8 = 1;
3. x2-3x+2 = 0 и x2+3x+2=0;
4. (x-5)2 = 3(x-5) и x-5=3;
5. x2-1=0 и 2^(x-1)=0;
6. |x-2| = -3 и 3x = (-1)3?

1) $3x — 7 = 5x + 5$ и $2x + 12 = 0$

Преобразуем первое уравнение:

$$3x — 7 = 5x + 5;$$

$$5x — 3x + 5 + 7 = 0;$$

$$2x + 12 = 0.$$

Ответ: равносильны.

2) $\frac{1}{5}(2x — 1) = 1$ и $\frac{3x — 1}{8} = 1$

Решим первое уравнение:

$$\frac{1}{5}(2x — 1) = 1;$$

$$2x — 1 = 5;$$

$$2x = 6;$$

$$x = 3.$$

Решим второе уравнение:

$$\frac{3x — 1}{8} = 1;$$

$$3x — 1 = 8;$$

$$3x = 9;$$

$$x = 3.$$

Ответ: равносильны.

3) $x^2 — 3x + 2 = 0$ и $x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим первое уравнение:

$$x^2 — 3x + 2 = 0;$$

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 + 3x + 2 = 0;$$

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$

$$x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.$$

Ответ: не равносильны.

4) $(x — 5)^2 = 3(x — 5)$ и $x — 5 = 3$

Решим первое уравнение:

$$(x — 5)^2 = 3(x — 5);$$

$$x^2 — 10x + 25 = 3x — 15;$$

$$x^2 — 13x + 40 = 0;$$

$$D = 13^2 — 4 \cdot 40 = 169 — 160 = 9;$$

$$x_1 = \frac{13 — 3}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8.$$

Решим второе уравнение:

$$x — 5 = 3;$$

$$x = 3 + 5 = 8.$$

Ответ: не равносильны.

5) $x^2 — 1 = 0$ и $2^{x-1} = 0$

Решим первое уравнение:

$$x^2 — 1 = 0;$$

$$x^2 = 1;$$

$$x = \pm 1.$$

Решим второе уравнение:

$$2^{x-1} = 0 \quad \text{— нет корней}.$$

Ответ: не равносильны.

6) $|x — 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3$

Решим первое уравнение:

$$|x — 2| = -3 \quad \text{— нет корней}.$$

Решим второе уравнение:

$$3^x = (-1)^3;$$

$$3^x = -1 \quad \text{— нет корней}.$$

Ответ: равносильны.

1) $3x — 7 = 5x + 5$ и $2x + 12 = 0$

Решим первое уравнение:

$$3x — 7 = 5x + 5.$$

Для начала перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в одну часть, а все числовые слагаемые — в другую:

$$3x — 5x = 5 + 7.$$

Преобразуем:

$$-2x = 12.$$

Теперь разделим обе части уравнения на $-2$:

$$x = \frac{12}{-2} = -6.$$

Решим второе уравнение:

$$2x + 12 = 0.$$

Для нахождения $x$ перенесём 12 на правую сторону уравнения:

$$2x = -12.$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$x = \frac{-12}{2} = -6.$$

Ответ: $x = -6$, то есть оба уравнения имеют одинаковое решение, и они равносильны.

2) $\frac{1}{5}(2x — 1) = 1$ и $\frac{3x — 1}{8} = 1$

Решим первое уравнение:

$$\frac{1}{5}(2x — 1) = 1.$$

Умножим обе части уравнения на 5:

$$2x — 1 = 5.$$

Теперь прибавим 1 к обеим частям:

$$2x = 6.$$

Разделим обе части на 2:

$$x = 3.$$

Решим второе уравнение:

$$\frac{3x — 1}{8} = 1.$$

Умножим обе части уравнения на 8:

$$3x — 1 = 8.$$

Теперь прибавим 1 к обеим частям:

$$3x = 9.$$

Разделим обе части на 3:

$$x = 3.$$

Ответ: В обоих уравнениях $x = 3$, значит, уравнения равносильны.

3) $x^2 — 3x + 2 = 0$ и $x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим первое уравнение:

$$x^2 — 3x + 2 = 0.$$

Для решения этого квадратного уравнения найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = 1,$$

$$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 + 3x + 2 = 0.$$

Для решения этого квадратного уравнения найдём дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 — 1}{2} = -2,$$

$$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1.$$

Ответ: Корни этих уравнений разные. Поэтому уравнения не равносильны.

4) $(x — 5)^2 = 3(x — 5)$ и $x — 5 = 3$

Решим первое уравнение:

$$(x — 5)^2 = 3(x — 5).$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 10x + 25 = 3x — 15.$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$x^2 — 10x + 25 — 3x + 15 = 0,$$

$$x^2 — 13x + 40 = 0.$$

Теперь найдём дискриминант:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 — 160 = 9.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 — 3}{2} = 5,$$

$$x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8.$$

Решим второе уравнение:

$$x — 5 = 3.$$

Прибавим 5 к обеим частям:

$$x = 8.$$

Ответ: Корни первого уравнения — $x = 5$ и $x = 8$, а второго уравнения — $x = 8$. Поскольку корни первого уравнения разные, а второго только один, уравнения не равносильны.

5) $x^2 — 1 = 0$ и $2^{x-1} = 0$

Решим первое уравнение:

$$x^2 — 1 = 0.$$

Приводим к виду:

$$x^2 = 1.$$

Из этого следует, что:

$$x = \pm 1.$$

Решим второе уравнение:

$$2^{x-1} = 0.$$

Поскольку степень двойки не может равняться нулю для любого значения $x$, то это уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнения не равносильны, так как одно имеет решения, а другое — нет.

6) $|x — 2| = -3$ и $3^x = (-1)^3$

Решим первое уравнение:

$$|x — 2| = -3.$$

Абсолютное значение не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений.

Решим второе уравнение:

$$3^x = (-1)^3.$$

$$3^x = -1.$$

Степень числа 3 всегда положительна, поэтому это уравнение также не имеет решений.

Ответ: Оба уравнения не имеют решений, следовательно, они равносильны.