ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 121 Алимов — Подробные Ответы

1. у = х4, х принадлежит [-1; 2];
2. у = х7, х принадлежит [-2; 3];
3. у = х^-1, х принадлежит [-3; -1];
4. у = х^-2, х принадлежит [1; 4].

1)

$y = x^4$

, на отрезке

$x \in [-1; 2]$

:

• Функция имеет наименьшее значение при
  $x = 0$ 

  (вершина): $$y_{\text{min}} = y(0) = 0;$$ 

• Функция имеет наибольшее значение при
  $x = 2$ 

  ( $|2| > |-1|$ 

  ): $$y_{\text{max}} = y(2) = 2^4 = 16;$$ 

2)

$y = x^7$

, на отрезке

$x \in [-2; 3]$

:

• Функция возрастает на всей числовой прямой:
  $$y_{\text{min}} = y(-2) = (-2)^7 = -128;$$ 

  $$y_{\text{max}} = y(3) = 3^7 = 2187;$$ 

3)

$y = x^{-1}$

, на отрезке

$x \in [-3; -1]$

:

• Функция убывает при
  $x \neq 0$ 

  : $$y_{\text{min}} = y(-1) = (-1)^{-1} = -\frac{1}{1} = -1;$$ 

  $$y_{\text{max}} = y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3};$$ 

4)

$y = x^{-2}$

, на отрезке

$x \in [1; 4]$

:

• Функция убывает при
  $x > 0$ 

  : 

  $$y_{\text{min}} = y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16};$$ 

  $$y_{\text{max}} = y(1) = 1^{-2} = 1;$$ 

1)

$y = x^4$

, на отрезке

$x \in [-1; 2]$

:

Шаг 1: Изучаем функцию

$y = x^4$

. Это полиномиальная функция с четной степенью.

• Функция
  $y = x^4$ 

  симметрична относительно оси $y$ 

  -оси, так как при подставлении $x$ 

  и $-x$ 

  результат будет одинаковым.

• Поскольку степень четная, при увеличении
  $|x|$ 

  значение функции будет увеличиваться, а при уменьшении $|x|$ 

  (когда $x$ 

  приближается к 0) значение функции будет уменьшаться.

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

$x \in [-1; 2]$

.

• Наименьшее значение функции:
  Функция $y = x^4$ 

  имеет наименьшее значение в точке $x = 0$ 

  (так как $x^4$ 

  минимально при $x = 0$ 

  , а по обе стороны от 0 $y$ 

  будет больше).
  Подставляем $x = 0$ 

  : 

  $$y_{\text{min}} = y(0) = 0^4 = 0.$$ 

  Таким образом, наименьшее значение

  $y_{\text{min}} = 0$.

• Наибольшее значение функции:
  Теперь нужно найти наибольшее значение функции. На отрезке $[-1; 2]$ 

  максимальное значение функции $y = x^4$ 

  достигается при $x = 2$ 

  , так как $|2| > |-1|$ 

  . Подставляем $x = 2$ 

  : 

  $$y_{\text{max}} = y(2) = 2^4 = 16.$$ 

  Таким образом, наибольшее значение

  $y_{\text{max}} = 16$.

Ответ:

• Наименьшее значение функции
  $y_{\text{min}} = 0$ 

  .

• Наибольшее значение функции
  $y_{\text{max}} = 16$ 

  .

2)

$y = x^7$

, на отрезке

$x \in [-2; 3]$

:

Шаг 1: Изучаем функцию

$y = x^7$

. Это полиномиальная функция с нечетной степенью.

• Функция
  $y = x^7$ 

  имеет свойство, что она возрастает на всей числовой прямой, так как производная $\frac{d}{dx} x^7 = 7x^6$ 

  всегда положительна для $x > 0$ 

  и отрицательна для $x < 0$ 

  .

• Для функции с нечетной степенью знак
  $y$ 

  меняется в зависимости от знака $x$ 

  : при $x > 0$ 

  функция возрастает, а при $x < 0$ 

  она убывает.

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

$x \in [-2; 3]$

.

• Наименьшее значение функции:
  Для функции $y = x^7$ 

  на отрезке $x \in [-2; 3]$ 

  наименьшее значение достигается при $x = -2$ 

  (так как на этом отрезке функция убывает на левом отрезке и возрастает на правом). Подставляем $x = -2$ 

  : 

  $$y_{\text{min}} = y(-2) = (-2)^7 = -128.$$ 

  Таким образом, наименьшее значение

  $y_{\text{min}} = -128$.

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции $y = x^7$ 

  на отрезке $[-2; 3]$ 

  будет при $x = 3$ 

  , так как функция возрастает при $x > 0$ 

  . Подставляем $x = 3$ 

  : 

  $$y_{\text{max}} = y(3) = 3^7 = 2187.$$ 

  Таким образом, наибольшее значение

  $y_{\text{max}} = 2187$.

Ответ:

• Наименьшее значение функции
  $y_{\text{min}} = -128$ 

  .

• Наибольшее значение функции
  $y_{\text{max}} = 2187$ 

  .

3)

$y = x^{-1}$

, на отрезке

$x \in [-3; -1]$

:

Шаг 1: Изучаем функцию

$y = x^{-1}$

, или

$y = \frac{1}{x}$

. Это гипербола с асимптотами

$x = 0$

и

$y = 0$

. Для

$x \in [-3; -1]$

, функция убывает.

• Функция
  $y = x^{-1}$ 

  убывает на промежутке $x \in (-\infty, 0)$ 

  , так как её производная $\frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2}$ 

  всегда отрицательна для $x < 0$ 

  .

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

$x \in [-3; -1]$

.

• Наименьшее значение функции:
  Функция убывает на отрезке $x \in [-3; -1]$ 

  , следовательно, наименьшее значение будет при $x = -1$ 

  (ближе к 0). Подставляем $x = -1$ 

  : 

  $$y_{\text{min}} = y(-1) = (-1)^{-1} = -1.$$ 

  Таким образом, наименьшее значение

  $y_{\text{min}} = -1$.

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции $y = x^{-1}$ 

  на отрезке $x \in [-3; -1]$ 

  будет при $x = -3$ 

  . Подставляем $x = -3$ 

  : 

  $$y_{\text{max}} = y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}.$$ 

  Таким образом, наибольшее значение

  $y_{\text{max}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ:

• Наименьшее значение функции
  $y_{\text{min}} = -1$ 

  .

• Наибольшее значение функции
  $y_{\text{max}} = -\frac{1}{3}$ 

  .

4)

$y = x^{-2}$

, на отрезке

$x \in [1; 4]$

:

Шаг 1: Изучаем функцию

$y = x^{-2}$

, или

$y = \frac{1}{x^2}$

. Это также гипербола, но с вертикальной асимптотой

$x = 0$

, а горизонтальной асимптотой

$y = 0$

. Функция убывает для

$x > 0$

.

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

$x \in [1; 4]$

.

• Наименьшее значение функции:
  Функция $y = \frac{1}{x^2}$ 

  убывает на отрезке $x \in [1; 4]$ 

  , поэтому наименьшее значение будет в точке $x = 4$ 

  . Подставляем $x = 4$ 

  : 

  $$y_{\text{min}} = y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{16}.$$ 

  Таким образом, наименьшее значение

  $y_{\text{min}} = \frac{1}{16}$.

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции будет при $x = 1$ 

  , так как $\frac{1}{x^2}$ 

  убывает при увеличении $x$ 

  . Подставляем $x = 1$ 

  : 

  $$y_{\text{max}} = y(1) = 1^{-2} = 1.$$ 

  Таким образом, наибольшее значение

  $y_{\text{max}} = 1$.

Ответ:

• Наименьшее значение функции
  $y_{\text{min}} = \frac{1}{16}$ 

  .

• Наибольшее значение функции
  $y_{\text{max}} = 1$ 

  .

Общие результаты:

• В первом пункте наименьшее значение
  $y_{\text{min}} = 0$ 

  , наибольшее $y_{\text{max}} = 16$ 

  .

• Во втором пункте наименьшее значение
  $y_{\text{min}} = -128$ 

  , наибольшее $y_{\text{max}} = 2187$ 

  .

• В третьем пункте наименьшее значение
  $y_{\text{min}} = -1$ 

  , наибольшее $y_{\text{max}} = -\frac{1}{3}$ 

  .

• В четвертом пункте наименьшее значение
  $y_{\text{min}} = \frac{1}{16}$ 

  , наибольшее $y_{\text{max}} = 1$ 

  .