ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 121 Алимов — Подробные Ответы

1. у = х4, х принадлежит [-1; 2];
2. у = х7, х принадлежит [-2; 3];
3. у = х^-1, х принадлежит [-3; -1];
4. у = х^-2, х принадлежит [1; 4].

1) $y=x^4$, на отрезке $x\in [-1;2]$:

• Функция имеет наименьшее значение при $x=0$ (вершина):

$$y_{\text{min}}=y(0)=0;$$

• Функция имеет наибольшее значение при $x=2$ ($\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }$):
  $$

$$y_{\text{max}}=y(2)=2^4=16;$$

2) $y=x^7$, на отрезке $x\in [-2;3]:$

$$Функция возрастает на всей числовой прямой:
$$y_{\text{min}}=y(-2)=(-2{)}^7=-128;$$

$$y_{\text{max}}=y(3)=3^7=2187;$$

3) $y=x^{-1}$, на отрезке $x\in [-3;-1]$:

Функция убывает при $x\mathrm{\ne }0$:$$$$y_{\text{min}}=y(-1)=(-1{)}^{-1}=-\frac{1}{1}=-1;$$

$$y_{\text{max}}=y(-3)=(-3{)}^{-1}=-\frac{1}{3};$$

4) $y=x^{-2}$, на отрезке $x\in [1;4]$:

Функция убывает при $x>0$:$$$$y_{\text{min}}=y(4)=4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16};$$

$$y_{\text{max}}=y(1)=1^{-2}=1$$

1) $y=x^4$, на отрезке $x\in [-1;2]$:

Шаг 1: Изучаем функцию $y=x^4$. Это полиномиальная функция с четной степенью.

• Функция $y=x^4$ симметрична относительно оси $y$-оси, так как при подставлении $x$ и $-x$ результат будет одинаковым.
• Поскольку степень четная, при увеличении $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ значение функции будет увеличиваться, а при уменьшении $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ (когда $x$ приближается к 0) значение функции будет уменьшаться.

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x\in [-1;2]$

• $$Наименьшее значение функции:
  Функция $y=x^4$ имеет наименьшее значение в точке $x=0$ (так как $x^4$ минимально при $x=0$, а по обе стороны от 0 $y$ будет больше). Подставляем $x=0$:

$$y_{\text{min}}=y(0)=0^4=0.$$

Таким образом, наименьшее значение $y_{\text{min}}=0$

• Наибольшее значение функции:
  Теперь нужно найти наибольшее значение функции. На отрезке $[-1;2]$ максимальное значение функции $y=x^4$достигается при $x=2$, так как $\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }$. Подставляем $x=2$:

$$y_{\text{max}}=y(2)=2^4=16.$$

Таким образом, наибольшее значение $y_{\text{max}}=16$

Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=0$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=16$
  ${}_{}$

2) $y=x^7$, на отрезке $x\in [-2;3]$:

Шаг 1: Изучаем функцию $y=x^7$. Это полиномиальная функция с нечетной степенью.

• Функция $y=x^7$ $$имеет свойство, что она возрастает на всей числовой прямой, так как производная $\frac{d}{dx}{x}^7=7x^6$ всегда положительна для $x>0$ и отрицательна для $x<0$$$$$
• Для функции с нечетной степенью знак $y$ меняется в зависимости от знака $x$: при $x>0$ функция возрастает, а при $x<0$ она убывает.$$

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x\in [-2;3]$

• Наименьшее значение функции:
  Для функции $y=x^7$ на отрезке $x\in [-2;3]$ наименьшее значение достигается при $x=-2$ (так как на этом отрезке функция убывает на левом отрезке и возрастает на правом). Подставляем $x=-2$:

$$y_{\text{min}}=y(-2)=(-2{)}^7=-128.$$

Таким образом, наименьшее значение $y_{\text{min}}=-128$

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции $y=x^7$ на отрезке $[-2;3]$ будет при $x=3$, так как функция возрастает при $x>0$. Подставляем $x=3$:

$$y_{\text{max}}=y(3)=3^7=2187.$$

Таким образом, наибольшее значение $y_{\text{max}}=2187$

Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=-128$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=2187$
  ${}_{}$

3) $y=x^{-1}$, на отрезке $x\in [-3;-1]$:

Шаг 1: Изучаем функцию $y=x^{-1}$, или $y=\frac{1}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Для $x\in [-3;-1]$, функция убывает.

Функция $y=x^{-1}$ убывает на промежутке $x\in (-\mathrm{\infty },0)$, так как её производная $\frac{d}{dx}{x}^{-1}=-x^{-2}$ всегда отрицательна для $x<0$

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x\in [-3;-1]$

• Наименьшее значение функции:
  Функция убывает на отрезке $x\in [-3;-1]$, следовательно, наименьшее значение будет при $x=-1$ (ближе к 0). Подставляем $x=-1$:

$$y_{\text{min}}=y(-1)=(-1{)}^{-1}=-1.$$

Таким образом, наименьшее значение $y_{\text{min}}=-1$

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции $y=x^{-1}$ на отрезке $x\in [-3;-1]$ будет при $x=-3$. Подставляем $x=-3$:

$$y_{\text{max}}=y(-3)=(-3{)}^{-1}=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, наибольшее значение $y_{\text{max}}=-\frac{1}{3}$

Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=-1$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=-\frac{1}{3}$
  ${}_{}$

4) $y=x^{-2}$, на отрезке $x\in [1;4]$:

Шаг 1: Изучаем функцию $y=x^{-2}$, или $y=\frac{1}{x^2}$. Это также гипербола, но с вертикальной асимптотой $x=0$, а горизонтальной асимптотой $y=0$. Функция убывает для $x>0$

Шаг 2: Находим наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $x\in [1;4]$

• Наименьшее значение функции:
  Функция $y=\frac{1}{x^2}$ убывает на отрезке $x\in [1;4]$, поэтому наименьшее значение будет в точке $x=4$. Подставляем $x=4$:

$$y_{\text{min}}=y(4)=4^{-2}=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$

Таким образом, наименьшее значение $y_{\text{min}}=\frac{1}{16}$

• Наибольшее значение функции:
  Наибольшее значение функции будет при $x=1$, так как $\frac{1}{x^2}$ убывает при увеличении $x$. Подставляем $x=1$:

$$y_{\text{max}}=y(1)=1^{-2}=1.$$

Таким образом, наибольшее значение $y_{\text{max}}=1$

Ответ:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=\frac{1}{16}$
• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=1$