ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1206 Алимов — Подробные Ответы

Найти среднее квадратичное отклонение величины X, заданной частотным распределением:

1)

X 2 3 4 6

м 2 2 1 3

2)

X -5 -2 2 3

М 2 3 4 2

1) Найдём среднее квадратичное отклонение величины $X$, заданное частотным распределением.

Решение

$$\bar{X} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 3}{2 + 2 + 1 + 3} = \frac{32}{8} = 4$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(2 — 4)^2 \cdot 2 + (3 — 4)^2 \cdot 2 + (4 — 4)^2 \cdot 2 + (6 — 4)^2 \cdot 3}{2 + 2 + 1 + 3} =$$ $$= \frac{8 + 2 + 12}{8} = 2,75$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,75} \approx 1,66$$

Ответ: $\approx 1,66$

2) Найдём среднее квадратичное отклонение величины $X$, заданное частотным распределением.

Решение

$$\bar{X} = \frac{-5 \cdot 2 — 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{2 + 3 + 4 + 2} = \frac{-2}{11} \approx 0,18$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D = \frac{(-5 — 0,18)^2 \cdot 2 + (-2 — 0,18)^2 \cdot 3 + (2 — 0,18)^2 \cdot 4 + (3 — 0,18)^2 \cdot 2}{2 + 3 + 4 + 2} =$$ $$= \frac{53,6648 + 14,2572 + 13,2496 + 15,9048}{11} \approx 8,83$$ $$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{8,83} \approx 2,97$$

Ответ: $\approx 2,97$

Шаги решения:

Найдем среднее значение выборки $\bar{X}$.

Среднее значение $\bar{X}$ для выборки, заданной частотным распределением, вычисляется по формуле:

$$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i \cdot X_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $X_i$ — значение величины,
• $f_i$ — частота появления значения $X_i$,
• $n$ — количество значений в выборке.

Рассчитаем дисперсию $D$.

Дисперсия для частотного распределения вычисляется по формуле:

$$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i \cdot (X_i — \bar{X})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

где:

• $X_i$ — значение величины,
• $f_i$ — частота появления значения $X_i$,
• $\bar{X}$ — среднее значение.

Найдем среднее квадратичное отклонение $\sigma$, которое является квадратным корнем из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D}$$

Теперь применим эти шаги для каждой из двух задач.

Пример 1:

Дано частотное распределение:

$$X = \{2, 3, 4, 6\}, \quad f = \{2, 2, 1, 3\}$$

Шаг 1: Найдем среднее значение $\bar{X}$

Сначала находим сумму произведений значений $X_i$ на их частоты $f_i$, а затем делим на общую сумму частот.

$$\bar{X} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 3}{2 + 2 + 1 + 3} = \frac{32}{8} = 4$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Для вычисления дисперсии используем формулу:

$$D = \frac{(2 — 4)^2 \cdot 2 + (3 — 4)^2 \cdot 2 + (4 — 4)^2 \cdot 2 + (6 — 4)^2 \cdot 3}{2 + 2 + 1 + 3}$$

Вычислим отклонения от среднего для каждого значения выборки и возведем их в квадрат:

• $(2 — 4)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(3 — 4)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(4 — 4)^2 = 0^2 = 0$
• $(6 — 4)^2 = 2^2 = 4$

Теперь вычислим сумму произведений частот на квадраты отклонений:

$$D = \frac{4 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{8} = \frac{8 + 2 + 0 + 12}{8} = \frac{22}{8} = 2,75$$

Шаг 3: Рассчитаем среднее квадратичное отклонение $\sigma$

Среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2,75} \approx 1,66$$

Ответ для первого примера: $\sigma \approx 1,66$

Пример 2:

Дано частотное распределение:

$$X = \{-5, -2, 2, 3\}, \quad f = \{2, 3, 4, 2\}$$

Шаг 1: Найдем среднее значение $\bar{X}$

Сначала находим сумму произведений значений $X_i$ на их частоты $f_i$, а затем делим на общую сумму частот.

$$\bar{X} = \frac{-5 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{2 + 3 + 4 + 2} = \frac{-2}{11} \approx 0,18$$

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию $D$

Для вычисления дисперсии используем формулу:

$$D = \frac{(-5 — 0,18)^2 \cdot 2 + (-2 — 0,18)^2 \cdot 3 + (2 — 0,18)^2 \cdot 4 + (3 — 0,18)^2 \cdot 2}{2 + 3 + 4 + 2}$$

Вычислим отклонения от среднего и их квадраты:

• $(-5 — 0,18)^2 = (-5,18)^2 = 26,8324$
• $(-2 — 0,18)^2 = (-2,18)^2 = 4,7684$
• $(2 — 0,18)^2 = (1,82)^2 = 3,3124$
• $(3 — 0,18)^2 = (2,82)^2 = 7,9524$

Теперь вычислим сумму произведений частот на квадраты отклонений:

$$D = \frac{26,8324 \cdot 2 + 4,7684 \cdot 3 + 3,3124 \cdot 4 + 7,9524 \cdot 2}{11}$$

Проведем вычисления:

$$D = \frac{53,6648 + 14,2572 + 13,2496 + 15,9048}{11} = \frac{97,0764}{11} \approx 8,83$$

Шаг 3: Рассчитаем среднее квадратичное отклонение $\sigma$

Среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{8,83} \approx 2,97$$

Ответ для второго примера: $\sigma \approx 2,97$

Итоги:

1. Для первого примера среднее квадратичное отклонение $\sigma \approx 1,66$.
2. Для второго примера среднее квадратичное отклонение $\sigma \approx 2,97$.