ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 117 Алимов — Подробные Ответы

1)$$\left( \frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2 + (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})^2}{a + \sqrt{ab}} \right)^5 \cdot \sqrt[3]{a^{10} \cdot \sqrt{a}};$$

2)$$\left( \frac{\frac{a — a^{-1}}{(\sqrt[3]{a^{-1}} + 1)(\sqrt[3]{a^{-1}} — 1)}}{+ \sqrt[3]{a^{-1}}} \right)^{-3};$$

3)$$\left( \frac{a^2 — b^2}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{ab \sqrt[3]{a} + ab^3}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}} \right) \cdot \frac{1}{a + b}.$$

Выражение 1:$$1) \left( \frac{\left( \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} \right)^2 + \left( \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b} \right)^2}{a + \sqrt{ab}} \right)^5 \cdot \sqrt[3]{a^{10} \cdot \sqrt{a}} =$$ $$= \left( \frac{\left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right)^2 + \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)^2}{a + (ab)^{\frac{1}{2}}} \right)^5 \cdot \left( a^{10} \cdot a^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} =$$ $$= \left( \frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} — 2a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} \right)^5 \cdot \left( a^{\frac{21}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} =$$ $$= \left( \frac{2a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} \right)^5 \cdot \left( a^{\frac{21}{6}} \right) = \left( \frac{2 \left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right)}{a^{\frac{1}{2}} \left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right)} \right)^5 \cdot a^{\frac{7}{2}} =$$ $$= \frac{2^5}{a^{\frac{5}{2}}} \cdot a^{\frac{7}{2}} = 32 \cdot a^{\frac{7}{2} — \frac{5}{2}} = 32a;$$

Ответ: $\boxed{32a}$

Выражение 2:$$2) \left( \frac{a — a^{-1}}{\left( \sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{a} + 1 \right) \left( \sqrt[3]{a^{-1}} — \sqrt[3]{a} + 1 \right)} + \sqrt[3]{a^{-1}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a — a^{-1}}{\left( a^{-\frac{1}{3}} + 1 \right) + a^{\frac{1}{3}}} \left( \left( a^{-\frac{1}{3}} + 1 \right) — a^{\frac{1}{3}} \right) + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a — a^{-1}}{\left( a^{-\frac{1}{3}} + 1 \right)^2 — a^{\frac{2}{3}}} + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3} = \left( \frac{a — a^{-1}}{a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}}} + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a — a^{-1} + a^{-\frac{1}{3}} \left( a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}} \right)}{a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a — a^{-1} + a^{-1} + 2a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a + 2a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}}} \right)^{-3} =$$ $$= \left( \frac{a^{-\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{1}{3}} + 1 — a^{\frac{2}{3}}}{a + 2a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}} \right)^{3};$$

Выражение 3:

$$3) \left( \frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{ab^3 \sqrt{a} + ab^3}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}} \right) \cdot \frac{1}{a + b} =$$ $$= \left( \frac{\left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right) \left( a^2 + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b^2 \right)}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \sqrt{\frac{ab \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}} \right) \cdot \frac{1}{a + b} =$$ $$= \left( a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b — \sqrt{ab} \right) \cdot \frac{1}{a + b} = \frac{a + \sqrt{ab} + b — \sqrt{ab}}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} = 1;$$

Ответ: $\boxed{1}$

Выражение 1

$$1) \left( \frac{\left( \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} \right)^2 + \left( \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b} \right)^2}{a + \sqrt{ab}} \right)^5 \cdot \sqrt[3]{a^{10} \cdot \sqrt{a}} =$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Сначала заметим, что выражения $\sqrt[4]{a}$и $\sqrt[4]{b}$ могут быть записаны как $a^{1/4}$ и $b^{1/4}$, соответственно. Также, $\sqrt{a} = a^{1/2}$, и $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$, что важно для упрощения выражений.

Применяем это к нашему выражению:

$$= \left( \frac{\left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right)^2 + \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)^2}{a + (ab)^{\frac{1}{2}}} \right)^5 \cdot \left( a^{10} \cdot a^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} =$$

Шаг 2: Упрощение числителя

Для числителя применим формулу квадрата суммы и квадрата разности:

$$\left( x + y \right)^2 + \left( x — y \right)^2 = 2x^2 + 2y^2$$

Заменяем $x = a^{1/4}$ и $y = b^{1/4}$:

$$= \left( 2a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}} \right)$$

Теперь числитель принимает вид:

$$2a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Упрощение знаменателя

Знаменатель также упрощается, учитывая, что $(ab)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$, так что:

$$a + \sqrt{ab} = a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 4: Итоговое упрощение выражения

Теперь подставим эти упрощения в исходное выражение:

$$= \left( \frac{2a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} \right)^5 \cdot \left( a^{\frac{21}{6}} \right) = \left( \frac{2 \left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right)}{a^{\frac{1}{2}} \left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right)} \right)^5 \cdot a^{\frac{7}{2}}$$

Шаг 5: Упрощение дроби

Множитель $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе можно сократить, так что мы получаем:

$$= \frac{2^5}{a^{\frac{5}{2}}} \cdot a^{\frac{7}{2}}$$

Шаг 6: Финальный результат

Теперь упростим:

$$32 \cdot a^{\frac{7}{2} — \frac{5}{2}} = 32a$$

Ответ: $\boxed{32a}$

Выражение 2

$$2) \left( \frac{a — a^{-1}}{\left( \sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{a} + 1 \right) \left( \sqrt[3]{a^{-1}} — \sqrt[3]{a} + 1 \right)} + \sqrt[3]{a^{-1}} \right)^{-3} =$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Используем то же представление для кубических корней:

$\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ и $\sqrt[3]{a^{-1}} = a^{-1/3}$. Пишем:

$$= \left( \frac{a — a^{-1}}{\left( a^{-\frac{1}{3}} + 1 \right) \left( a^{\frac{1}{3}} + 1 \right)} + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3}$$

Шаг 2: Упрощение множителей в знаменателе

В знаменателе можно раскрыть скобки:

$$\left( a^{-\frac{1}{3}} + 1 \right) \left( a^{\frac{1}{3}} + 1 \right) = a^{0} + a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} + 1 = 1 + a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} + 1 = 2 + a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 3: Итоговое упрощение выражения

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$= \left( \frac{a — a^{-1}}{2 + a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}} + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3}$$

Шаг 4: Финальный вид

Так как выражение дальше не упрощается, окончательный ответ остается в виде:

$$\left( \frac{a — a^{-1}}{2 + a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}} + a^{-\frac{1}{3}} \right)^{-3}$$

Ответ: Это выражение можно оставить в данном виде.

Выражение 3

$$3) \left( \frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{ab^3 \sqrt{a} + ab^3}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}} \right) \cdot \frac{1}{a + b} =$$

Шаг 1: Преобразование числителя

Рассмотрим первый дробь в числителе:

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{\left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right) \left( a^2 + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b^2 \right)}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}$$

После сокращения $a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}$, выражение принимает вид:

$$a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b$$

Шаг 2: Преобразование второго слагаемого

Теперь займемся второй частью выражения:

$$\sqrt{\frac{ab^3 \sqrt{a} + ab^3}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}} = \sqrt{ab \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)}$$

Этот корень упрощается до:

$$\sqrt{ab} \cdot \sqrt{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 3: Итоговое упрощение

Теперь подставляем эти результаты обратно в выражение:

$$\left( a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b — \sqrt{ab} \right) \cdot \frac{1}{a + b}$$

После сокращения и упрощения получаем:

$$\frac{a + b}{a + b} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$