ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1151 Алимов — Подробные Ответы

В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар чёрный.

В первой коробке находятся 7 белых и 3 черных шара, а во второй — 5 белых и 9 черных, наугад из каждой коробки вынимают по одному шару:

$n_1 = 7 + 3 = 10$ — шаров в первой коробке;

$n_2 = 5 + 9 = 14$ — шаров во второй коробке;

Пусть события:

$A_1, A_2$ — из данной коробки вытащили белый шар;

$B_1, B_2$ — из данной коробки вытащили черный шар;

1) Вероятность, что оба вынутых шара белые:

$P(A_1 A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4};$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Вероятность, что оба вынутых шара черные:

$P(B_1 B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{9}{14} = \frac{27}{140};$

Ответ: $\frac{27}{140}$.

3) Вероятность, что хотя бы один шар белый:

$P = 1 — P(B_1 B_2) = 1 — P(B_1) \cdot P(B_2) = 1 — \frac{3}{10} \cdot \frac{9}{14} = 1 — \frac{27}{140} = \frac{113}{140};$

Ответ: $\frac{113}{140}$.

4) Вероятность, что хотя бы один шар черный:

$P = 1 — P(A_1 A_2) = 1 — P(A_1) \cdot P(A_2) = 1 — \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4};$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

1. В первой коробке 7 белых и 3 чёрных шара, то есть всего $7 + 3 = 10$ шаров.
2. Во второй коробке 5 белых и 9 чёрных шара, то есть всего $5 + 9 = 14$ шаров.

Необходимо найти вероятность для следующих событий:

1. Оба вынутых шара белые.
2. Оба вынутых шара чёрные.
3. Хотя бы один шар белый.
4. Хотя бы один шар чёрный.

1. Оба вынутых шара белые

Для того чтобы оба шара были белыми, нужно, чтобы из обеих коробок был вынут белый шар. Поскольку мы вытаскиваем шары независимо, вероятность каждого события можно умножить.

Шаги решения:

1. Вероятность того, что из первой коробки вытащат белый шар:

   В первой коробке 7 белых шаров из 10, поэтому вероятность того, что вытащат белый шар из первой коробки:$$P(A_1) = \frac{7}{10}$$

2. Вероятность того, что из второй коробки вытащат белый шар:

   Во второй коробке 5 белых шаров из 14, поэтому вероятность того, что вытащат белый шар из второй коробки:$$P(A_2) = \frac{5}{14}$$

3. Общая вероятность того, что оба шара белые:

   Поскольку события «вынуть белый шар из первой коробки» и «вынуть белый шар из второй коробки» независимы, то вероятность того, что оба шара будут белыми, вычисляется как произведение вероятностей:$$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4}$$

Ответ для первого пункта:

$$P(\text{оба шара белые}) = \frac{1}{4}$$

2. Оба вынутых шара чёрные

Для того чтобы оба шара были чёрными, нужно, чтобы из обеих коробок был вынут чёрный шар. Снова используем принцип независимости событий.

Шаги решения:

1. Вероятность того, что из первой коробки вытащат чёрный шар:

   В первой коробке 3 чёрных шара из 10, поэтому вероятность того, что вытащат чёрный шар из первой коробки:$$P(B_1) = \frac{3}{10}$$

2. Вероятность того, что из второй коробки вытащат чёрный шар:

   Во второй коробке 9 чёрных шаров из 14, поэтому вероятность того, что вытащат чёрный шар из второй коробки:$$P(B_2) = \frac{9}{14}$$

3. Общая вероятность того, что оба шара будут чёрными:

   Поскольку эти события независимы, вероятность того, что оба шара будут чёрными, вычисляется как произведение вероятностей:$$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{9}{14} = \frac{27}{140}$$

Ответ для второго пункта:

$$P(\text{оба шара чёрные}) = \frac{27}{140}$$

3. Хотя бы один шар белый

Для этого случая лучше воспользоваться формулой вероятности дополнения. Вместо того чтобы искать вероятность того, что хотя бы один шар белый, проще найти вероятность того, что оба шара чёрные (это противоположное событие), и вычесть её из 1.

Шаги решения:

1. Вероятность того, что оба шара чёрные:

   Мы уже нашли, что вероятность того, что оба шара чёрные, равна $\frac{27}{140}$.

2. Вероятность того, что хотя бы один шар белый:

   Это событие противоположно событию «оба шара чёрные», так что вероятность того, что хотя бы один шар белый, равна:$$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 — P(\text{оба шара чёрные}) = 1 — \frac{27}{140} = \frac{140}{140} — \frac{27}{140} = \frac{113}{140}$$

Ответ для третьего пункта:

$$P(\text{хотя бы один белый}) = \frac{113}{140}$$

4. Хотя бы один шар чёрный

Аналогично третьему пункту, мы можем использовать формулу для дополнения. Сначала находим вероятность того, что оба шара белые, и затем вычитаем её из 1.

Шаги решения:

1. Вероятность того, что оба шара белые:

   Мы уже нашли, что вероятность того, что оба шара белые, равна $\frac{1}{4}$.

2. Вероятность того, что хотя бы один шар чёрный:

   Это событие противоположно событию «оба шара белые», так что вероятность того, что хотя бы один шар чёрный, равна:$$P(\text{хотя бы один чёрный}) = 1 — P(\text{оба шара белые}) = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Ответ для четвёртого пункта:

$$P(\text{хотя бы один чёрный}) = \frac{3}{4}$$

Итоговые ответы:

1. Вероятность того, что оба вынутых шара белые: $\frac{1}{4}$.
2. Вероятность того, что оба вынутых шара чёрные: $\frac{27}{140}$.
3. Вероятность того, что хотя бы один шар белый: $\frac{113}{140}$.
4. Вероятность того, что хотя бы один шар чёрный: $\frac{3}{4}$.