ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1142 Алимов — Подробные Ответы

В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар.

В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара:

$n = C_{6+5}^4 = C_{11}^4 = \frac{11!}{(11-4)! \cdot 4!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 330;$

1) Вероятность, что среди них есть хотя бы один белый шар:

Пусть событие $\overline{C}$ — все шары красные, тогда событие $C$ — искомое:

$m = C_5^4 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5;$

$P(\overline{C}) = \frac{m}{n} = \frac{5}{330} = \frac{1}{66};$

$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{1}{66} = \frac{65}{66};$

Ответ: $\frac{65}{66}$.

2) Вероятность, что среди них есть хотя бы один красный шар:

Пусть событие $\overline{C}$ — все шары белые, тогда событие $C$ — искомое:

$m = C_6^4 = \frac{6!}{(6-4)! \cdot 4!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 3 \cdot 5 = 15;$

$P(\overline{C}) = \frac{m}{n} = \frac{15}{330} = \frac{1}{22};$

$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{1}{22} = \frac{21}{22};$

Ответ: $\frac{21}{22}$.

• В коробке находится 6 белых и 5 красных шаров, всего $6 + 5 = 11$ шаров.
• Наугад вынимаются 4 шара.
• Необходимо найти вероятность того, что среди этих четырех шаров окажется хотя бы один:
  1. Белый шар.
  2. Красный шар.

Шаг 1: Общее количество исходов

Для вычисления вероятности, сначала определим общее количество возможных исходов, то есть количество способов выбрать 4 шара из 11:

$$n = C_{11}^4 = \frac{11!}{(11-4)! \cdot 4!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330$$

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 шара из 11 равно $330$.

1) Вероятность того, что среди них окажется хотя бы один белый шар

Для вычисления этой вероятности воспользуемся методом дополнения, то есть сначала найдем вероятность того, что среди 4 выбранных шаров не окажется белого шара, то есть все выбранные шары будут красными.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать 4 красных шара из 5.

Количество способов выбрать 4 красных шара из 5:

$$m_{\text{все красные}} = C_5^4 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1! \cdot 4!} = 5$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все 4 выбранных шара окажутся красными:

$$P(\text{все красные}) = \frac{m_{\text{все красные}}}{n} = \frac{5}{330} = \frac{1}{66}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных шаров окажется хотя бы один белый, равна дополнению вероятности того, что все шары будут красными:

$$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 — P(\text{все красные}) = 1 — \frac{1}{66} = \frac{65}{66}$$

Ответ: Вероятность того, что среди 4 вынутых шаров окажется хотя бы один белый, равна $\frac{65}{66}$.

2) Вероятность того, что среди них окажется хотя бы один красный шар

Аналогично первому пункту, применим метод дополнения. Сначала найдем вероятность того, что среди выбранных 4 шаров не окажется красного шара, то есть все выбранные шары будут белыми.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать 4 белых шара из 6.

Количество способов выбрать 4 белых шара из 6:

$$m_{\text{все белые}} = C_6^4 = \frac{6!}{(6-4)! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все 4 выбранных шара окажутся белыми:

$$P(\text{все белые}) = \frac{m_{\text{все белые}}}{n} = \frac{15}{330} = \frac{1}{22}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что среди выбранных шаров окажется хотя бы один красный, равна дополнению вероятности того, что все шары будут белыми:

$$P(\text{хотя бы один красный}) = 1 — P(\text{все белые}) = 1 — \frac{1}{22} = \frac{21}{22}$$

Ответ: Вероятность того, что среди 4 вынутых шаров окажется хотя бы один красный, равна $\frac{21}{22}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность того, что среди 4 вынутых шаров окажется хотя бы один белый: $\frac{65}{66}$
2. Вероятность того, что среди 4 вынутых шаров окажется хотя бы один красный: $\frac{21}{22}$