ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1141 Алимов — Подробные Ответы

В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар.

В коробке лежат 5 белых и 7 черных шаров, наугад вынимают три шара:

$n = C_{5+7}^3 = C_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3 \cdot 2} = 4 \cdot 11 \cdot 5 = 220;$

1) Вероятность, что среди них есть по крайней мере один белый шар:

Пусть событие $\overline{C}$ — все шары черные, тогда событие $C$ — искомое:

$m = C_7^3 = \frac{7!}{(7-3)! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3 \cdot 2} = 7 \cdot 5 = 35;$
$P(\overline{C}) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44};$
$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{7}{44} = \frac{37}{44};$
Ответ: $\frac{37}{44}$.

2) Вероятность, что среди них есть по крайней мере один черный шар:

Пусть событие $\overline{C}$ — все шары белые, тогда событие $C$ — искомое:

$m = C_5^3 = \frac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 5 \cdot 2 = 10;$
$P(\overline{C}) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22};$
$P(C) = 1 — P(\overline{C}) = 1 — \frac{1}{22} = \frac{21}{22};$
Ответ: $\frac{21}{22}$.

• В коробке находятся 5 белых и 7 черных шаров, всего $5 + 7 = 12$ шаров.
• Наугад вынимают 3 шара.
• Необходимо найти вероятность того, что среди этих трех шаров окажется хотя бы один:
  1. Белый шар.
  2. Черный шар.

Общее количество исходов

Общее количество способов выбрать 3 шара из 12:

$$n = C_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$$

1) Вероятность того, что среди них окажется хотя бы один белый шар

Для решения используем подход через дополнение.

Шаг 1: Найдем вероятность того, что не будет белого шара (то есть все 3 шара окажутся черными). Это противоположное событие, которое легче вычислить.

Число способов выбрать 3 черных шара из 7:

$$m_{\text{не белые}} = C_7^3 = \frac{7!}{(7-3)! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все три шара черные:

$$P(\text{все черные}) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна дополнению вероятности того, что все шары черные:

$$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 — P(\text{все черные}) = 1 — \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$$

Ответ: Вероятность того, что среди 3 вынутых шаров окажется хотя бы один белый, равна $\frac{37}{44}$.

2) Вероятность того, что среди них окажется хотя бы один черный шар

Аналогично первому пункту, применим метод дополнения.

Шаг 1: Найдем вероятность того, что не будет черного шара (то есть все 3 шара будут белыми).

Число способов выбрать 3 белых шара из 5:

$$m_{\text{не черные}} = C_5^3 = \frac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что все три шара белые:

$$P(\text{все белые}) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$$

Шаг 3: Теперь вероятность того, что хотя бы один шар будет черным, равна дополнению вероятности того, что все шары белые:

$$P(\text{хотя бы один черный}) = 1 — P(\text{все белые}) = 1 — \frac{1}{22} = \frac{21}{22}$$

Ответ: Вероятность того, что среди 3 вынутых шаров окажется хотя бы один черный, равна $\frac{21}{22}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность того, что среди 3 вынутых шаров окажется хотя бы один белый: $\frac{37}{44}$
2. Вероятность того, что среди 3 вынутых шаров окажется хотя бы один черный: $\frac{21}{22}$