ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1131 Алимов — Подробные Ответы

Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что: 1) обе выбранные лампочки испорчены; 2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная; 3) обе лампочки исправные?

Среди 15 лампочек 4 испорчены, наугад берут 2 лампочки:

$$n = C_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)! \cdot 2!} = \frac{15!}{13! \cdot 2} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! \cdot 2} = 15 \cdot 7 = 105;$$

1) Вероятность, что обе выбранные лампочки испорчены:

$$m = C_4^2 = \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2} = 2 \cdot 3 = 6;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35};$$

2) Вероятность, что одна лампочка исправная, а другая нет:

$$m = C_{11}^1 \cdot C_4^1 = \frac{11!}{(11-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{4!}{(4-1)! \cdot 1!} = \frac{11!}{10! \cdot 1} \cdot \frac{4!}{3! \cdot 1} = 11 \cdot 4 = 44;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{44}{105};$$

3) Вероятность, что обе выбранные лампочки исправны:

$$m = C_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)! \cdot 2!} = \frac{11!}{9! \cdot 2} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2} = 11 \cdot 5 = 55;$$ $$P = \frac{m}{n} = \frac{55}{105} = \frac{11}{21};$$

Дано:

• В ящике 15 лампочек, из которых 4 испорчены и 11 исправных.
• Наугад выбирают 2 лампочки.

Необходимо найти вероятность того, что:

1. Обе выбранные лампочки испорчены.
2. Одна лампочка исправная, а одна — испорченная.
3. Обе лампочки исправные.

Общее количество возможных исходов при выборе 2 лампочек из 15 можно вычислить с помощью сочетаний:

$$n = C_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)! \cdot 2!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$$

Таким образом, общее количество способов выбрать 2 лампочки из 15 — это $n = 105$.

Теперь давайте вычислим вероятность для каждого из пунктов задачи.

1) Вероятность, что обе выбранные лампочки испорчены:

Шаг 1: Количество благоприятных исходов:
Для того чтобы выбрать 2 испорченные лампочки из 4, используем сочетание:

$$m = C_4^2 = \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

То есть существует 6 способов выбрать 2 испорченные лампочки.

Шаг 2: Расчёт вероятности:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35}$$

Ответ: Вероятность того, что обе выбранные лампочки испорчены, равна $\frac{2}{35}$.

2) Вероятность, что одна лампочка исправная, а другая испорченная:

Шаг 1: Количество благоприятных исходов:
Для того чтобы выбрать одну исправную лампочку из 11 и одну испорченную лампочку из 4, используем сочетания:

$$m = C_{11}^1 \cdot C_4^1 = \frac{11!}{(11-1)! \cdot 1!} \cdot \frac{4!}{(4-1)! \cdot 1!} = 11 \cdot 4 = 44$$

Таким образом, существует 44 способа выбрать одну исправную и одну испорченную лампочку.

Шаг 2: Расчёт вероятности:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{44}{105}$$

Ответ: Вероятность того, что одна лампочка исправная, а другая — испорченная, равна $\frac{44}{105}$.

3) Вероятность, что обе лампочки исправные:

Шаг 1: Количество благоприятных исходов:
Для того чтобы выбрать 2 исправные лампочки из 11, используем сочетание:

$$m = C_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55$$

То есть существует 55 способов выбрать 2 исправные лампочки.

Шаг 2: Расчёт вероятности:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{55}{105} = \frac{11}{21}$$

Ответ: Вероятность того, что обе лампочки исправные, равна $\frac{11}{21}$.

Итоговые ответы:

1. Вероятность, что обе выбранные лампочки испорчены: $\frac{2}{35}$
2. Вероятность, что одна лампочка исправная, а другая — испорченная: $\frac{44}{105}$
3. Вероятность, что обе лампочки исправные: $\frac{11}{21}$