ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 111 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

1)$$a=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{5}{3+2\sqrt{2}},b=\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

2)$$a=\sqrt{2}+\sqrt{3},b=\sqrt{10}\mathrm{.}$$

3)$$a=5-\sqrt{15},b=\sqrt{17}-3.$$

4)$$a=\sqrt{13}-\sqrt{12},b=\sqrt{12}-\sqrt{11}\mathrm{.}$$

1) $a=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{5}{3+2\sqrt{2}}$ и $b=\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$

Допустим, что верно:

• $\sqrt{5}-\sqrt{3}<\sqrt{8}-\sqrt{5}$
• $2\sqrt{5}<\sqrt{8}+\sqrt{3}$
• $4\cdot 5<8+2\sqrt{8\cdot 3}+3$
• $20<11+2\sqrt{24}$
• $9<2\sqrt{24}$
• $81⩾96$ — неверно.

Следовательно:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}>\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$

Ответ: $a>b$

2) $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$и $b=\sqrt{10}$

Допустим, что верно:

• $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\sqrt{10}$
• $2+2\sqrt{2\cdot 3}+3>10$
• $5+2\sqrt{6}>10$
• $2\sqrt{6}>5$
• $4\cdot 6>25$
• $24>25$ — неверно.

Следовательно:

$\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$

Ответ: $a<b$

3) $a=5-\sqrt{15}$ и $b=\sqrt{17}-3$

Допустим, что верно:

• $5-\sqrt{15}>\sqrt{17}-3$
• $5+3>\sqrt{17}+\sqrt{15}$
• $8>\sqrt{17}+\sqrt{15}$
• $64>17+2\sqrt{17\cdot 15}+15$
• $64>32+2\sqrt{255}$
• $32>2\sqrt{255}$
• $16>\sqrt{255}$
• $256>255$ — верно.

Ответ: $a>b$

4) $a=\sqrt{13}-\sqrt{12}$и $b=\sqrt{12}-\sqrt{11}$

Допустим, что верно:

• $\sqrt{13}-\sqrt{12}<\sqrt{12}-\sqrt{11}$
• $\sqrt{13}+\sqrt{11}<2\sqrt{12}$
• $13+2\sqrt{13\cdot 11}+11<4\cdot 12$
• $24+2\sqrt{143}<48$
• $2\sqrt{143}<24$
• $\sqrt{143}<12$
• $143<144$ — верно.

Ответ: $a<b$

Сравнение чисел $a$ и $b$

1) $a=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{5}{3+2\sqrt{2}}$ и $b=\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$

Шаг 1: Приведение дробей к удобному виду.

Для того чтобы сравнить эти два выражения, начнем с рационализации знаменателей.

Приведение первого слагаемого $a_1=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$:

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+\sqrt{3}$:

$$a_1=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=$$

$$=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$

Приведение второго слагаемого $a_2=\frac{5}{3+2\sqrt{2}}$:

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3-2\sqrt{2}$:

$$a_2=\frac{5}{3+2\sqrt{2}}\cdot \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}=\frac{5(3-2\sqrt{2})}{(3{)}^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\frac{5(3-2\sqrt{2})}{9-8}=5(3-2\sqrt{2})=15-10\sqrt{2}$$

Таким образом, $a$ принимает вид:

$$a=a_1+a_2=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(15-10\sqrt{2})=\sqrt{5}+\sqrt{3}+15-10\sqrt{2}$$

Приведение второго выражения $b=\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$:

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{8}+\sqrt{5}$:

$$b=\frac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{2(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5}=\frac{2(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3}$$

$$b=\frac{2\sqrt{8}+2\sqrt{5}}{3}=\frac{2\sqrt{8}}{3}+\frac{2\sqrt{5}}{3}=\frac{2\sqrt{8}}{3}+\frac{2\sqrt{5}}{3}$$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Теперь, имея выражения для $a$ и $b$:

$$a=\sqrt{5}+\sqrt{3}+15-10\sqrt{2}$$

$$b=\frac{2\sqrt{8}}{3}+\frac{2\sqrt{5}}{3}$$

Чтобы точно сравнить их, проще использовать численные значения. Посчитаем:

• $\sqrt{5}\approx 2.236$
• $\sqrt{3}\approx 1.732$
• $\sqrt{2}\approx 1.414$
• $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.828$
• $\sqrt{5}\approx 2.236$

Численное значение $a$:

$$a=2.236+1.732+15-10\cdot 1.414\approx 2.236+1.732+15-14.14\approx$$

$$5.868+15-14.14=6.728$$

Численное значение $b$:

$$b=\frac{2\cdot 2.828}{3}+\frac{2\cdot 2.236}{3}=\frac{5.656}{3}+\frac{4.472}{3}\approx 1.885+1.490\approx 3.375$$

Шаг 3: Сравнение чисел.

Таким образом, $a\approx 6.728$ и $b\approx 3.375$. Следовательно, $a>b$.

Ответ: $a>b$

2) $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$и $b=\sqrt{10}$

Шаг 1: Сравнение выражений.

Для того чтобы сравнить $a$ и $b$, вычислим их численные значения:

• $\sqrt{2}\approx 1.414$
• $\sqrt{3}\approx 1.732$
• $\sqrt{10}\approx 3.162$

Численное значение $a$:

$$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1.414+1.732=3.146$$

Численное значение $b$:

$$b=\sqrt{10}\approx 3.162$$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Из вычислений видно, что $a\approx 3.146$ и $b\approx 3.162$, следовательно, $a<b$.

Ответ: $a<b$

3) $a=5-\sqrt{15}$и $b=\sqrt{17}-3$

Мы начнем с того, что будем проверять, какой из чисел $a$ и $b$ больше, используя подход сравнения и упрощения выражений.

Шаг 1: Преобразование выражений

Начнем с того, что попробуем преобразовать выражения $a$ и $b$ и привести их к удобному виду для сравнения.

Предположим, что:

$$a=5-\sqrt{15}$$

$$b=\sqrt{17}-3$$

Нам нужно доказать или опровергнуть следующее неравенство:

$$5-\sqrt{15}>\sqrt{17}-3$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$$5-\sqrt{15}-\sqrt{17}+3>0$$

Упрощаем выражение:

$$8-\sqrt{15}-\sqrt{17}>0$$

Теперь нужно проверить, что:

$$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8$$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

• $\sqrt{15}\approx 3.873$
•  $\sqrt{17}\approx 4.123$

Теперь сложим эти значения:

$$\sqrt{15}+\sqrt{17}\approx 3.873+4.123=7.996$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{15}+\sqrt{17}\approx 7.996<8$$

Это неравенство выполняется, следовательно:

$$8-\sqrt{15}-\sqrt{17}>0$$

Итак, $a>b$.

Ответ: $a>b$

4) $a=\sqrt{13}-\sqrt{12}$ и $b=\sqrt{12}-\sqrt{11}$

Теперь сравним числа $a$ и $b$, используя аналогичный подход.

Шаг 1: Преобразование выражений

Предположим, что:

$$a=\sqrt{13}-\sqrt{12}$$

$$b=\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

Нам нужно проверить, какое из чисел больше. Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{13}-\sqrt{12}<\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$$\sqrt{13}-\sqrt{12}-\sqrt{12}+\sqrt{11}<0$$

Упрощаем выражение:

$$\sqrt{13}-2\sqrt{12}+\sqrt{11}<0$$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

• $\sqrt{13}\approx 3.606$
• $\sqrt{12}\approx 3.464$
• $\sqrt{11}\approx 3.317$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$$\sqrt{13}-2\sqrt{12}+\sqrt{11}\approx 3.606-2\cdot 3.464+3.317$$

Выполним вычисления:

$$3.606-2\cdot 3.464+3.317=3.606-6.928+3.317=0.995$$

Мы видим, что:

$$0.995>0$$

Это противоречит нашему исходному неравенству, то есть:

$$\sqrt{13}-\sqrt{12}>\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

Ответ: $a>b$