ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 111 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Сравнить числа $a$ и $b$ , если:

1) $a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2 \sqrt{2}}, b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} .$

2) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}, b = \sqrt{10} .$

3) $a = 5 - \sqrt{15}, b = \sqrt{17} - 3.$

4) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}, b = \sqrt{12} - \sqrt{11} .$

Краткий ответ:

1) $a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2 \sqrt{2}}$ и $b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$

Допустим, что верно:

$\sqrt{5} - \sqrt{3} < \sqrt{8} - \sqrt{5}$
$2 \sqrt{5} < \sqrt{8} + \sqrt{3}$
$4 \cdot 5 < 8 + 2 \sqrt{8 \cdot 3} + 3$
$20 < 11 + 2 \sqrt{24}$
$9 < 2 \sqrt{24}$
$81 ⩾ 96$ — неверно.

Следовательно:

$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} > \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$

Ответ: $a > b$

2) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{10}$

Допустим, что верно:

$\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{10}$
$2 + 2 \sqrt{2 \cdot 3} + 3 > 10$
$5 + 2 \sqrt{6} > 10$
$2 \sqrt{6} > 5$
$4 \cdot 6 > 25$
$24 > 25$ — неверно.

Следовательно:

$\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$

Ответ: $a < b$

3) $a = 5 - \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{17} - 3$

Допустим, что верно:

$5 - \sqrt{15} > \sqrt{17} - 3$
$5 + 3 > \sqrt{17} + \sqrt{15}$
$8 > \sqrt{17} + \sqrt{15}$
$64 > 17 + 2 \sqrt{17 \cdot 15} + 15$
$64 > 32 + 2 \sqrt{255}$
$32 > 2 \sqrt{255}$
$16 > \sqrt{255}$
$256 > 255$ — верно.

Ответ: $a > b$

4) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$ и $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Допустим, что верно:

$\sqrt{13} - \sqrt{12} < \sqrt{12} - \sqrt{11}$
$\sqrt{13} + \sqrt{11} < 2 \sqrt{12}$
$13 + 2 \sqrt{13 \cdot 11} + 11 < 4 \cdot 12$
$24 + 2 \sqrt{143} < 48$
$2 \sqrt{143} < 24$
$\sqrt{143} < 12$
$143 < 144$ — верно.

Ответ: $a < b$

Подробный ответ:

Сравнение чисел $a$ и $b$

1) $a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2 \sqrt{2}}$ и $b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$

Шаг 1: Приведение дробей к удобному виду.

Для того чтобы сравнить эти два выражения, начнем с рационализации знаменателей.

Приведение первого слагаемого $a_{1} = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ :

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ :

$a_{1} = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} =$

$= \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

Приведение второго слагаемого $a_{2} = \frac{5}{3 + 2 \sqrt{2}}$ :

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 - 2 \sqrt{2}$ :

$a_{2} = \frac{5}{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{5 (3 - 2 \sqrt{2})}{(3)^{2} - (2 \sqrt{2})^{2}} = \frac{5 (3 - 2 \sqrt{2})}{9 - 8} = 5 (3 - 2 \sqrt{2}) = 15 - 10 \sqrt{2}$

Таким образом, $a$ принимает вид:

$a = a_{1} + a_{2} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (15 - 10 \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 15 - 10 \sqrt{2}$

Приведение второго выражения $b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$ :

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{8} + \sqrt{5}$ :

$b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{8} + \sqrt{5}}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{2 (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \frac{2 (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{2 (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3}$

$b = \frac{2 \sqrt{8} + 2 \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{2 \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Теперь, имея выражения для $a$ и $b$ :

$a = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 15 - 10 \sqrt{2}$

$b = \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Чтобы точно сравнить их, проще использовать численные значения. Посчитаем:

$\sqrt{5} \approx 2.236$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$\sqrt{2} \approx 1.414$
$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \approx 2.828$
$\sqrt{5} \approx 2.236$

Численное значение $a$ :

$a = 2.236 + 1.732 + 15 - 10 \cdot 1.414 \approx 2.236 + 1.732 + 15 - 14.14 \approx$

$5.868 + 15 - 14.14 = 6.728$

Численное значение $b$ :

$b = \frac{2 \cdot 2.828}{3} + \frac{2 \cdot 2.236}{3} = \frac{5.656}{3} + \frac{4.472}{3} \approx 1.885 + 1.490 \approx 3.375$

Шаг 3: Сравнение чисел.

Таким образом, $a \approx 6.728$ и $b \approx 3.375$ . Следовательно, $a > b$ .

Ответ: $a > b$

2) $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{10}$

Шаг 1: Сравнение выражений.

Для того чтобы сравнить $a$ и $b$ , вычислим их численные значения:

$\sqrt{2} \approx 1.414$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$\sqrt{10} \approx 3.162$

Численное значение $a$ :

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1.732 = 3.146$

Численное значение $b$ :

$b = \sqrt{10} \approx 3.162$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Из вычислений видно, что $a \approx 3.146$ и $b \approx 3.162$ , следовательно, $a < b$ .

Ответ: $a < b$

3) $a = 5 - \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{17} - 3$

Мы начнем с того, что будем проверять, какой из чисел $a$ и $b$ больше, используя подход сравнения и упрощения выражений.

Шаг 1: Преобразование выражений

Начнем с того, что попробуем преобразовать выражения $a$ и $b$ и привести их к удобному виду для сравнения.

Предположим, что:

$a = 5 - \sqrt{15}$

$b = \sqrt{17} - 3$

Нам нужно доказать или опровергнуть следующее неравенство:

$5 - \sqrt{15} > \sqrt{17} - 3$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$5 - \sqrt{15} - \sqrt{17} + 3 > 0$

Упрощаем выражение:

$8 - \sqrt{15} - \sqrt{17} > 0$

Теперь нужно проверить, что:

$\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

$\sqrt{15} \approx 3.873$
$\sqrt{17} \approx 4.123$

Теперь сложим эти значения:

$\sqrt{15} + \sqrt{17} \approx 3.873 + 4.123 = 7.996$

Таким образом, получаем:

$\sqrt{15} + \sqrt{17} \approx 7.996 < 8$

Это неравенство выполняется, следовательно:

$8 - \sqrt{15} - \sqrt{17} > 0$

Итак, $a > b$ .

Ответ: $a > b$

4) $a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$ и $b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Теперь сравним числа $a$ и $b$ , используя аналогичный подход.

Шаг 1: Преобразование выражений

Предположим, что:

$a = \sqrt{13} - \sqrt{12}$

$b = \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Нам нужно проверить, какое из чисел больше. Рассмотрим неравенство:

$\sqrt{13} - \sqrt{12} < \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$\sqrt{13} - \sqrt{12} - \sqrt{12} + \sqrt{11} < 0$

Упрощаем выражение:

$\sqrt{13} - 2 \sqrt{12} + \sqrt{11} < 0$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

$\sqrt{13} \approx 3.606$
$\sqrt{12} \approx 3.464$
$\sqrt{11} \approx 3.317$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{13} - 2 \sqrt{12} + \sqrt{11} \approx 3.606 - 2 \cdot 3.464 + 3.317$

Выполним вычисления:

$3.606 - 2 \cdot 3.464 + 3.317 = 3.606 - 6.928 + 3.317 = 0.995$

Мы видим, что:

$0.995 > 0$

Это противоречит нашему исходному неравенству, то есть:

$\sqrt{13} - \sqrt{12} > \sqrt{12} - \sqrt{11}$

Ответ: $a > b$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра