ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 111 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа

$a$

и

$b$

, если:

1)

$$a = \frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}, \quad b = \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}}.$$

2)

$$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad b = \sqrt{10}.$$

3)

$$a = 5 — \sqrt{15}, \quad b = \sqrt{17} — 3.$$

4)

$$a = \sqrt{13} — \sqrt{12}, \quad b = \sqrt{12} — \sqrt{11}.$$

1)

$a = \frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$

и

$b = \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}}$

Допустим, что верно:

• 
  $\sqrt{5} — \sqrt{3} < \sqrt{8} — \sqrt{5}$ 

  ;

• 
  $2\sqrt{5} < \sqrt{8} + \sqrt{3}$ 

  ;

• 
  $4 \cdot 5 < 8 + 2\sqrt{8 \cdot 3} + 3$ 

  ;

• 
  $20 < 11 + 2\sqrt{24}$ 

  ;

• 
  $9 < 2\sqrt{24}$ 

  ;

• 
  $81 \geqslant 96$ 

  — неверно.

Следовательно:

$\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} > \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}}$

.

Ответ:

$a > b$

.

2)

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

и

$b = \sqrt{10}$

Допустим, что верно:

• 
  $\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{10}$ 

  ;

• 
  $2 + 2\sqrt{2 \cdot 3} + 3 > 10$ 

  ;

• 
  $5 + 2\sqrt{6} > 10$ 

  ;

• 
  $2\sqrt{6} > 5$ 

  ;

• 
  $4 \cdot 6 > 25$ 

  ;

• 
  $24 > 25$ 

  — неверно.

Следовательно:

$\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$

.

Ответ:

$a < b$

.

3)

$a = 5 — \sqrt{15}$

и

$b = \sqrt{17} — 3$

Допустим, что верно:

• 
  $5 — \sqrt{15} > \sqrt{17} — 3$ 

  ;

• 
  $5 + 3 > \sqrt{17} + \sqrt{15}$ 

  ;

• 
  $8 > \sqrt{17} + \sqrt{15}$ 

  ;

• 
  $64 > 17 + 2\sqrt{17 \cdot 15} + 15$ 

  ;

• 
  $64 > 32 + 2\sqrt{255}$ 

  ;

• 
  $32 > 2\sqrt{255}$ 

  ;

• 
  $16 > \sqrt{255}$ 

  ;

• 
  $256 > 255$ 

  — верно.

Ответ:

$a > b$

.

4)

$a = \sqrt{13} — \sqrt{12}$

и

$b = \sqrt{12} — \sqrt{11}$

Допустим, что верно:

• 
  $\sqrt{13} — \sqrt{12} < \sqrt{12} — \sqrt{11}$ 

  ;

• 
  $\sqrt{13} + \sqrt{11} < 2\sqrt{12}$ 

  ;

• 
  $13 + 2\sqrt{13 \cdot 11} + 11 < 4 \cdot 12$ 

  ;

• 
  $24 + 2\sqrt{143} < 48$ 

  ;

• 
  $2\sqrt{143} < 24$ 

  ;

• 
  $\sqrt{143} < 12$ 

  ;

• 
  $143 < 144$ 

  — верно.

Ответ:

$a < b$

.

Сравнение чисел

$a$

и

$b$

1)

$a = \frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$

и

$b = \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}}$

Шаг 1: Приведение дробей к удобному виду.

Для того чтобы сравнить эти два выражения, начнем с рационализации знаменателей.

Приведение первого слагаемого

$a_1 = \frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}$

:

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$

:

$$a_1 = \frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 — 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$$

Приведение второго слагаемого

$a_2 = \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$

:

Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

$3 — 2\sqrt{2}$

:

$$a_2 = \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 — 2\sqrt{2}}{3 — 2\sqrt{2}} = \frac{5(3 — 2\sqrt{2})}{(3)^2 — (2\sqrt{2})^2} = \frac{5(3 — 2\sqrt{2})}{9 — 8} = 5(3 — 2\sqrt{2}) = 15 — 10\sqrt{2}$$

Таким образом,

$a$

принимает вид:

$$a = a_1 + a_2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (15 — 10\sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 15 — 10\sqrt{2}$$

Приведение второго выражения

$b = \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}}$

:

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение

$\sqrt{8} + \sqrt{5}$

:

$$b = \frac{2}{\sqrt{8} — \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{8} + \sqrt{5}}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 — (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{8 — 5} = \frac{2(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3}$$

$$b = \frac{2\sqrt{8} + 2\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{8}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{8}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3}$$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Теперь, имея выражения для

$a$

и

$b$

:

$$a = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 15 — 10\sqrt{2}$$

$$b = \frac{2\sqrt{8}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3}$$

Чтобы точно сравнить их, проще использовать численные значения. Посчитаем:

• 
  $\sqrt{5} \approx 2.236$ 
• 
  $\sqrt{3} \approx 1.732$ 
• 
  $\sqrt{2} \approx 1.414$ 
• 
  $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ 
• 
  $\sqrt{5} \approx 2.236$ 

Численное значение

$a$

:

$$a = 2.236 + 1.732 + 15 — 10 \cdot 1.414 \approx 2.236 + 1.732 + 15 — 14.14 \approx 5.868 + 15 — 14.14 = 6.728$$

Численное значение

$b$

:

$$b = \frac{2 \cdot 2.828}{3} + \frac{2 \cdot 2.236}{3} = \frac{5.656}{3} + \frac{4.472}{3} \approx 1.885 + 1.490 \approx 3.375$$

Шаг 3: Сравнение чисел.

Таким образом,

$a \approx 6.728$

и

$b \approx 3.375$

. Следовательно,

$a > b$

.

Ответ:

$a > b$

.

2)

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

и

$b = \sqrt{10}$

Шаг 1: Сравнение выражений.

Для того чтобы сравнить

$a$

и

$b$

, вычислим их численные значения:

• 
  $\sqrt{2} \approx 1.414$ 
• 
  $\sqrt{3} \approx 1.732$ 
• 
  $\sqrt{10} \approx 3.162$ 

Численное значение

$a$

:

$$a = \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1.732 = 3.146$$

Численное значение

$b$

:

$$b = \sqrt{10} \approx 3.162$$

Шаг 2: Сравнение чисел.

Из вычислений видно, что

$a \approx 3.146$

и

$b \approx 3.162$

, следовательно,

$a < b$

.

Ответ:

$a < b$

.

3)

$a = 5 — \sqrt{15}$

и

$b = \sqrt{17} — 3$

Мы начнем с того, что будем проверять, какой из чисел

$a$

и

$b$

больше, используя подход сравнения и упрощения выражений.

Шаг 1: Преобразование выражений

Начнем с того, что попробуем преобразовать выражения

$a$

и

$b$

и привести их к удобному виду для сравнения.

Предположим, что:

$$a = 5 — \sqrt{15}$$

$$b = \sqrt{17} — 3$$

Нам нужно доказать или опровергнуть следующее неравенство:

$$5 — \sqrt{15} > \sqrt{17} — 3$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$$5 — \sqrt{15} — \sqrt{17} + 3 > 0$$

Упрощаем выражение:

$$8 — \sqrt{15} — \sqrt{17} > 0$$

Теперь нужно проверить, что:

$$\sqrt{15} + \sqrt{17} < 8$$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

• 
  $\sqrt{15} \approx 3.873$ 
• 
  $\sqrt{17} \approx 4.123$ 

Теперь сложим эти значения:

$$\sqrt{15} + \sqrt{17} \approx 3.873 + 4.123 = 7.996$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{15} + \sqrt{17} \approx 7.996 < 8$$

Это неравенство выполняется, следовательно:

$$8 — \sqrt{15} — \sqrt{17} > 0$$

Итак,

$a > b$

.

Ответ:

$a > b$

.

4)

$a = \sqrt{13} — \sqrt{12}$

и

$b = \sqrt{12} — \sqrt{11}$

Теперь сравним числа

$a$

и

$b$

, используя аналогичный подход.

Шаг 1: Преобразование выражений

Предположим, что:

$$a = \sqrt{13} — \sqrt{12}$$

$$b = \sqrt{12} — \sqrt{11}$$

Нам нужно проверить, какое из чисел больше. Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{13} — \sqrt{12} < \sqrt{12} — \sqrt{11}$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

Переносим все слагаемые в одну сторону неравенства:

$$\sqrt{13} — \sqrt{12} — \sqrt{12} + \sqrt{11} < 0$$

Упрощаем выражение:

$$\sqrt{13} — 2\sqrt{12} + \sqrt{11} < 0$$

Шаг 3: Проверка неравенства

Для того чтобы проверить это неравенство, вычислим численные значения:

• 
  $\sqrt{13} \approx 3.606$ 
• 
  $\sqrt{12} \approx 3.464$ 
• 
  $\sqrt{11} \approx 3.317$ 

Теперь подставим эти значения в выражение:

$$\sqrt{13} — 2\sqrt{12} + \sqrt{11} \approx 3.606 — 2 \cdot 3.464 + 3.317$$

Выполним вычисления:

$$3.606 — 2 \cdot 3.464 + 3.317 = 3.606 — 6.928 + 3.317 = 0.995$$

Мы видим, что:

$$0.995 > 0$$

Это противоречит нашему исходному неравенству, то есть:

$$\sqrt{13} — \sqrt{12} > \sqrt{12} — \sqrt{11}$$

Ответ:

$a > b$

.