ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1107 Алимов — Подробные Ответы

Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте:

Способы назначить патруль из двух солдат и одного офицера:

1) Среди 75 солдат и 6 офицеров (порядок не важен):

• Вариантов выбора одного офицера:

  $$C_6^1 = \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6;$$

• Вариантов выбора двух солдат:

  $$C_{75}^2 = \frac{75!}{(75-2)! \cdot 2!} = \frac{75!}{73! \cdot 2!} = \frac{75 \cdot 74 \cdot 73!}{73! \cdot 2} = \frac{75 \cdot 74}{2} = 75 \cdot 37 = 2775;$$

• Всего вариантов:

  $$A = C_6^1 \cdot C_{75}^2 = 6 \cdot 2775 = 16650;$$

Ответ: 16650 способов.

2) Среди 78 солдат и 5 офицеров (порядок не важен):

• Вариантов выбора одного офицера:

  $$C_5^1 = \frac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5;$$

• Вариантов выбора двух солдат:

  $$C_{78}^2 = \frac{78!}{(78-2)! \cdot 2!} = \frac{78!}{76! \cdot 2!} = \frac{78 \cdot 77 \cdot 76!}{76! \cdot 2} = \frac{78 \cdot 77}{2} = 39 \cdot 77 = 3003;$$

• Всего вариантов:

  $$A = C_5^1 \cdot C_{78}^2 = 5 \cdot 3003 = 15015;$$

Ответ: 15015 способов.

Для того чтобы назначить патруль из двух солдат и одного офицера, важно учесть, что порядок выборов не имеет значения, так как патруль состоит из 2 солдат и 1 офицера. Следовательно, для решения задачи мы будем использовать сочетания (биномиальные коэффициенты), а не размещения.

Задача сводится к выбору 1 офицера из определенного числа офицеров и 2 солдат из числа солдат. Мы будем использовать формулу для сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где:

• $C_n^k$ — количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ элементов,
• $n$ — общее количество элементов,
• $k$ — количество выбранных элементов.

1) 75 солдат и 6 офицеров

Шаг 1: Выбор одного офицера из 6 офицеров.

Количество способов выбрать 1 офицера из 6 можно выразить как сочетание $C_6^1$:

$$C_6^1 = \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$$

Таким образом, существует 6 способов выбрать 1 офицера из 6.

Шаг 2: Выбор двух солдат из 75 солдат.

Количество способов выбрать 2 солдат из 75 можно выразить как сочетание $C_{75}^2$:

$$C_{75}^2 = \frac{75!}{(75-2)! \cdot 2!} = \frac{75!}{73! \cdot 2!} = \frac{75 \cdot 74 \cdot 73!}{73! \cdot 2} = \frac{75 \cdot 74}{2} = 2775$$

Таким образом, существует 2775 способов выбрать 2 солдат из 75.

Шаг 3: Общий выбор патруля.

Чтобы найти общее количество способов назначить патруль, нужно умножить количество способов выбрать офицера и количество способов выбрать солдат:

$$A = C_6^1 \cdot C_{75}^2 = 6 \cdot 2775 = 16650$$

Ответ: Количество способов назначить патруль из двух солдат и одного офицера среди 75 солдат и 6 офицеров — 16650 способов.

2) 78 солдат и 5 офицеров

Шаг 1: Выбор одного офицера из 5 офицеров.

Количество способов выбрать 1 офицера из 5 можно выразить как сочетание $C_5^1$:

$$C_5^1 = \frac{5!}{(5-1)! \cdot 1!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5$$

Таким образом, существует 5 способов выбрать 1 офицера из 5.

Шаг 2: Выбор двух солдат из 78 солдат.

Количество способов выбрать 2 солдат из 78 можно выразить как сочетание $C_{78}^2$:

$$C_{78}^2 = \frac{78!}{(78-2)! \cdot 2!} = \frac{78!}{76! \cdot 2!} = \frac{78 \cdot 77 \cdot 76!}{76! \cdot 2} = \frac{78 \cdot 77}{2} = 3003$$

Таким образом, существует 3003 способа выбрать 2 солдат из 78.

Шаг 3: Общий выбор патруля.

Чтобы найти общее количество способов назначить патруль, нужно умножить количество способов выбрать офицера и количество способов выбрать солдат:

$$A = C_5^1 \cdot C_{78}^2 = 5 \cdot 3003 = 15015$$

Ответ: Количество способов назначить патруль из двух солдат и одного офицера среди 78 солдат и 5 офицеров — 15015 способов.