ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1085 Алимов — Подробные Ответы

На окружности отмечено: 1) 10 точек; 2) 12 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Способы соединить отрезками три точки:

1. Из десяти точек:
   $C_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)! \cdot 3!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2} = 5 \cdot 3 \cdot 8 = 30;$
   Ответ: 120 способов.
2. Из двенадцати точек:
   $C_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)! \cdot 3!} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3 \cdot 2} = 4 \cdot 11 \cdot 5 = 220;$
   Ответ: 220 способов.

Чтобы построить треугольник, нужно выбрать 3 точки из $n$ точек на окружности. Порядок, в котором мы выбираем эти точки, не имеет значения, поскольку треугольник определяется только набором 3 точек. Это означает, что задача сводится к задаче на сочетания (выбор 3 точек из $n$).

Формула для сочетаний

Для выбора $k$ объектов из $n$ без учета порядка используется формула для сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество точек,
• $k$ — количество точек, которые нужно выбрать (в нашем случае 3 для треугольника).

Теперь давайте разберемся, как решить задачу для двух случаев: когда на окружности 10 точек и когда 12 точек.

Задача 1: 10 точек на окружности

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 3 точки из 10. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10 — 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы. Поскольку $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$, мы можем сократить $7!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!}$$

Далее, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, поэтому:

$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6}$$

Шаг 3: Вычислим результат.

Теперь вычислим:

$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120$$

Ответ для задачи 1: 120 различных треугольников можно построить.

Задача 2: 12 точек на окружности

Шаг 1: Применим формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 3 точки из 12. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{12}^3 = \frac{12!}{3! \cdot (12 — 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь упростим факториалы. Поскольку $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$, мы можем сократить $9!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!}$$

Далее, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, поэтому:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6}$$

Шаг 3: Вычислим результат.

Теперь вычислим:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = \frac{1320}{6} = 220$$

Ответ для задачи 2: 220 различных треугольников можно построить.