ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1083 Алимов — Подробные Ответы

В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться: 1) 15 ламп; 2) 14 ламп?

Способов зажечь одновременно из шестнадцати ламп:

1. Пятнадцать ламп:
   $C_{16}^{15} = \frac{16!}{(16-15)! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 15!}{1! \cdot 15!} = 16;$
   Ответ: 16 способов.
2. Четырнадцать ламп:
   $C_{16}^{14} = \frac{16!}{(16-14)! \cdot 14!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2 \cdot 14!} = 8 \cdot 15 = 120;$
   Ответ: 120 способов.

Для решения задачи мы будем использовать формулу для сочетаний $C_n^k$, которая позволяет вычислить количество способов выбрать $k$ объектов из $n$ без учета порядка. В данном случае мы будем выбирать лампы, которые должны быть зажжены из общего числа 16 ламп.

Формула для сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае 16 ламп),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (в нашем случае 15 или 14 ламп),
• $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$.

Теперь давайте шаг за шагом разберем каждую из задач.

Задача 1: Сколько способов зажечь одновременно 15 ламп из 16?

Шаг 1: Подставим данные в формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 15 ламп из 16. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{16}^{15} = \frac{16!}{(16 — 15)! \cdot 15!} = \frac{16!}{1! \cdot 15!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь давайте упростим факториалы. Число $16!$ — это:

$$16! = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot \dots \cdot 1$$

А $15!$ — это:

$$15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot \dots \cdot 1$$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$$C_{16}^{15} = \frac{16 \cdot 15!}{1! \cdot 15!}$$

Шаг 3: Сократим $15!$.

Теперь заметим, что $15!$ сокращается в числителе и знаменателе:

$$C_{16}^{15} = \frac{16}{1!}$$

Так как $1! = 1$, то остается:

$$C_{16}^{15} = 16$$

Ответ для задачи 1: 16 способов.

Задача 2: Сколько способов зажечь одновременно 14 ламп из 16?

Шаг 1: Подставим данные в формулу для сочетаний.

Теперь нам нужно выбрать 14 ламп из 16. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_{16}^{14} = \frac{16!}{(16 — 14)! \cdot 14!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Теперь раскроем факториалы. Число $16!$ — это:

$$16! = 16 \cdot 15 \cdot 14!$$

А $14!$ — это:

$$14! = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 1$$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$$C_{16}^{14} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{2! \cdot 14!}$$

Шаг 3: Сократим $14!$.

Теперь заметим, что $14!$ сокращается в числителе и знаменателе:

$$C_{16}^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2!}$$

Так как $2! = 2$, то подставляем это значение:

$$C_{16}^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2}$$

Шаг 4: Упростим результат.

Теперь вычислим:

$$C_{16}^{14} = \frac{16 \cdot 15}{2} = \frac{240}{2} = 120$$

Ответ для задачи 2: 120 способов.