ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1081 Алимов — Подробные Ответы

Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать:

1) троих студентов; 2) четверых студентов?

Способы выбрать из 9 человек для участия в конференции:

1. Троих студентов:
   $C_9^3 = \frac{9!}{(9-3)! \cdot 3!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$
   Ответ: 84 способа.
2. Четверых студентов:
   $C_9^4 = \frac{9!}{(9-4)! \cdot 4!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126;$
   Ответ: 126 способов.

Задача требует вычислить количество способов выбрать студентов для участия в конференции из 9 человек. Мы будем использовать формулу для сочетаний $C_n^k$, так как порядок выбора не имеет значения — нас интересует только, кто будет выбран, а не в каком порядке.

Формула для сочетаний $C_n^k$ выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в нашем случае это 9 человек),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (в нашем случае это 3 или 4 студента),
• $n!$ — факториал числа $n$, который означает произведение всех чисел от 1 до $n$.

Теперь давайте разберем оба случая по шагам.

Задача 1: Выбрать троих студентов из 9

Шаг 1: Используем формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 3 студента из 9. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot (9 — 3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}$$

Шаг 2: Упростим факториалы.

Теперь давайте упростим выражение, сначала раскроем факториалы:

$$9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!$$

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$$ $$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Таким образом, мы можем подставить эти выражения в формулу:

$$C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3! \cdot 6!}$$

Шаг 3: Сократим $6!$.

Теперь заметим, что $6!$ сокращается в числителе и знаменателе:

$$C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!}$$

Далее, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, поэтому:

$$C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6}$$

Шаг 4: Упростим результат.

Теперь вычислим:

$$C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = \frac{504}{6} = 84$$

Ответ: $84$ способа выбрать троих студентов.

Задача 2: Выбрать четверых студентов из 9

Шаг 1: Используем формулу для сочетаний.

Нам нужно выбрать 4 студента из 9. По формуле для сочетаний это будет:

$$C_9^4 = \frac{9!}{4! \cdot (9 — 4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}$$

Шаг 2: Упростим факториалы.

Теперь раскроем факториалы:

$$9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$$

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$$ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Подставим в формулу:

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4! \cdot 5!}$$

Шаг 3: Сократим $5!$.

Теперь заметим, что $5!$ сокращается в числителе и знаменателе:

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4!}$$

Далее, $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$, поэтому:

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24}$$

Шаг 4: Упростим результат.

Теперь вычислим:

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126$$

Ответ: $126$ способов выбрать четверых студентов.