ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1080 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение:

1. С 1/7;
2. С 1/6;
3. С 2/8;
4. С 2/7;
5. С 3/7;
6. С 3/8;
7. С 8/9;
8. С 9/10;
9. С 15/15;
10. С 12/12;
11. С 0/30;
12. С 0/40;
13. С 48/50;
14. С 38/40;
15. С 2/70;
16. С 2/60.

1. $C_{7}^{1} = \frac{7!}{(7-1)! \cdot 1!} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7;$
2. $C_{6}^{1} = \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6;$
3. $C_{8}^{2} = \frac{8!}{(8-2)! \cdot 2!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2} = \frac{4 \cdot 7}{1} = 28;$
4. $C_{7}^{2} = \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2} = \frac{7 \cdot 3}{1} = 21;$
5. $C_{7}^{3} = \frac{7!}{(7-3)! \cdot 3!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{7 \cdot 5}{1} = 35;$
6. $C_{8}^{3} = \frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{8 \cdot 7}{1} = 56;$
7. $C_{9}^{8} = \frac{9!}{(9-8)! \cdot 8!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 8!}{8!} = 9;$
8. $C_{10}^{9} = \frac{10!}{(10-9)! \cdot 9!} = \frac{10!}{1! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10;$
9. $C_{15}^{15} = \frac{15!}{(15-15)! \cdot 15!} = \frac{15!}{0! \cdot 15!} = \frac{1}{1} = 1;$
10. $C_{12}^{12} = \frac{12!}{(12-12)! \cdot 12!} = \frac{12!}{0! \cdot 12!} = \frac{1}{1} = 1;$
11. $C_{30}^{0} = \frac{30!}{(30-0)! \cdot 0!} = \frac{30!}{30! \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1;$
12. $C_{40}^{0} = \frac{40!}{(40-0)! \cdot 0!} = \frac{40!}{40! \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1;$
13. $C_{50}^{2} = \frac{50!}{(50-2)! \cdot 2!} = \frac{50!}{48! \cdot 2!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48!}{2 \cdot 48!} = \frac{25 \cdot 49}{1} = 1225;$
14. $C_{40}^{38} = \frac{40!}{(40-38)! \cdot 38!} = \frac{40!}{2! \cdot 38!} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38!}{2 \cdot 38!} = \frac{20 \cdot 39}{1} = 780;$
15. $C_{70}^{2} = \frac{70!}{(70-2)! \cdot 2!} = \frac{70!}{68! \cdot 2!} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68!}{68! \cdot 2} = \frac{35 \cdot 69}{1} = 2415;$
16. $C_{60}^{2} = \frac{60!}{(60-2)! \cdot 2!} = \frac{60!}{58! \cdot 2!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58!}{58! \cdot 2} = \frac{30 \cdot 59}{1} = 1770$

Каждое выражение представляет собой вычисление числа сочетаний $C_n^k$, что означает, сколько существует способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка. Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}$$

где:

• $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$,
• $k!$ — это факториал числа $k$,
• $(n — k)!$ — это факториал разности $n$ и $k$.

Теперь давайте шаг за шагом разберем каждый пример.

1) $C_{7}^{1} = \frac{7!}{(7-1)! \cdot 1!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_7^1 = \frac{7!}{6! \cdot 1!}$$

Число $7!$ — это факториал числа 7, то есть:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

А $6!$ — это факториал числа 6:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_7^1 = \frac{7 \cdot 6!}{6! \cdot 1!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_7^1 = \frac{7 \cdot 6!}{6! \cdot 1} = 7$$

Ответ: 7

2) $C_{6}^{1} = \frac{6!}{(6-1)! \cdot 1!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_6^1 = \frac{6!}{5! \cdot 1!}$$

Число $6!$ — это:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

А $5!$ — это:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Теперь подставим:

$$C_6^1 = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_6^1 = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6$$

Ответ: 6

3) $C_{8}^{2} = \frac{8!}{(8-2)! \cdot 2!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_8^2 = \frac{8!}{6! \cdot 2!}$$

Число $8!$ — это:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$$

А $2!$ — это:

$$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Теперь подставим:

$$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Ответ: 28

4) $C_{7}^{2} = \frac{7!}{(7-2)! \cdot 2!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_7^2 = \frac{7!}{5! \cdot 2!}$$

Число $7!$ — это:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$$

А $2!$ — это:

$$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Теперь подставим:

$$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Ответ: 21

5) $C_{7}^{3} = \frac{7!}{(7-3)! \cdot 3!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_7^3 = \frac{7!}{4! \cdot 3!}$$

Число $7!$ — это:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!$$

А $3!$ — это:

$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Теперь подставим:

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 6}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = \frac{210}{6} = 35$$

Ответ: 35

6) $C_{8}^{3} = \frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_8^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!}$$

Число $8!$ — это:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$$

А $3!$ — это:

$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Теперь подставим:

$$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 6}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7}{1} = 56$$

Ответ: 56

7) $C_{9}^{8} = \frac{9!}{(9-8)! \cdot 8!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_9^8 = \frac{9!}{1! \cdot 8!}$$

Число $9!$ — это:

$$9! = 9 \cdot 8!$$

Теперь подставим:

$$C_9^8 = \frac{9 \cdot 8!}{1 \cdot 8!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_9^8 = 9$$

Ответ: 9

8) $C_{10}^{9} = \frac{10!}{(10-9)! \cdot 9!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{10}^9 = \frac{10!}{1! \cdot 9!}$$

Число $10!$ — это:

$$10! = 10 \cdot 9!$$

Теперь подставим:

$$C_{10}^9 = \frac{10 \cdot 9!}{1 \cdot 9!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{10}^9 = 10$$

Ответ: 10

9) $C_{15}^{15} = \frac{15!}{(15-15)! \cdot 15!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{15}^{15} = \frac{15!}{0! \cdot 15!}$$

Здесь $0! = 1$, поэтому:

$$C_{15}^{15} = \frac{15!}{1 \cdot 15!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{15}^{15} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ: 1

10) $C_{12}^{12} = \frac{12!}{(12-12)! \cdot 12!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{12}^{12} = \frac{12!}{0! \cdot 12!}$$

Здесь $0! = 1$, поэтому:

$$C_{12}^{12} = \frac{12!}{1 \cdot 12!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{12}^{12} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ: 1

11) $C_{30}^{0} = \frac{30!}{(30-0)! \cdot 0!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{30}^{0} = \frac{30!}{30! \cdot 1} = \frac{1}{1}$$

Ответ: 1

12) $C_{40}^{0} = \frac{40!}{(40-0)! \cdot 0!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{40}^{0} = \frac{40!}{40! \cdot 1} = \frac{1}{1}$$

Ответ: 1

13) $C_{50}^{2} = \frac{50!}{(50-2)! \cdot 2!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{50}^{2} = \frac{50!}{48! \cdot 2!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48!}{2 \cdot 48!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{50}^{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = \frac{2450}{2} = 1225$$

Ответ: 1225

14) $C_{40}^{38} = \frac{40!}{(40-38)! \cdot 38!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{40}^{38} = \frac{40!}{2! \cdot 38!} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38!}{2 \cdot 38!}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{40}^{38} = \frac{40 \cdot 39}{2} = \frac{780}{2} = 780$$

Ответ: 780

15) $C_{70}^{2} = \frac{70!}{(70-2)! \cdot 2!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{70}^{2} = \frac{70!}{68! \cdot 2!} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68!}{68! \cdot 2}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{70}^{2} = \frac{70 \cdot 69}{2} = \frac{4830}{2} = 2415$$

Ответ: 2415

16) $C_{60}^{2} = \frac{60!}{(60-2)! \cdot 2!}$

Шаг 1: Подставим числа.

$$C_{60}^{2} = \frac{60!}{58! \cdot 2!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58!}{58! \cdot 2}$$

Шаг 2: Сократим факториалы.

$$C_{60}^{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = \frac{3540}{2} = 1770$$

Ответ: 1770

Итоговые ответы:

1. $7$
2. $6$
3. $28$
4. $21$
5. $35$
6. $56$
7. $9$
8. $10$
9. $1$
10. $1$
11. $1$
12. $1$
13. $1225$
14. $780$
15. $2415$
16. $1770$