ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1064 Алимов — Подробные Ответы

Упростить форму записи выражений (полагая, что к — натуральное число, к > 4):

1. 6! * 7;
2. 10!* 11;
3. 15 * 14!;
4. 12 * 11!;
5. к! (к + 1);
6. (к — 1)! k;
7. (к — 1)! к (к + 1);
8. (k — 2)! (k-1)- k;
9. (k — 4)! (k2 — 5k + 6);
10. (k — 3)! (k2 -3k + 2).

$6! \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 7!;$

$10! \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 = 11!;$

$15 \cdot 14! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 15!;$

$12 \cdot 11! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12!;$

$k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!;$

$(k — 1)! \cdot k = k!;$

$(k — 1)! \cdot k \cdot (k + 1) = (k + 1)!;$

$(k — 2)! \cdot (k — 1) \cdot k = k!;$

$(k — 4)! \cdot (k^2 — 5k + 6);$

Разложим второй член на множители:

$k^2 — 5k + 6 = 0;$

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$

$k_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } k_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$

$k^2 — 5k + 6 = (k — 3)(k — 2);$

Получим выражение:

$(k — 4)! \cdot (k — 3) \cdot (k — 2) = (k — 2)!;$

$(k — 3)! \cdot (k^2 — 3k + 2);$

Разложим второй член на множители:

$k^2 — 3k + 2 = 0;$

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$

$k_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \text{ и } k_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$

$k^2 — 3k + 2 = (k — 2)(k — 1);$

Получим выражение:

$(k — 3)! \cdot (k — 2) \cdot (k — 1) = (k — 1)!;$

1) $6! \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 7!$

Факториал $6!$ — это произведение всех чисел от 1 до 6:

$$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$$

Когда мы умножаем $6!$ на 7, то фактически получаем факториал от 7, так как:

$$6! \cdot 7 = 7! \quad \text{(так как \( 7! = 7 \cdot 6! \))}$$

Ответ: $6! \cdot 7 = 7!$.

2) $10! \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 = 11!$

По аналогии с первым примером:

$$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3,628,800$$

Когда мы умножаем $10!$ на 11, мы получаем $11!$, так как:

$$10! \cdot 11 = 11! \quad \text{(так как \( 11! = 11 \cdot 10! \))}$$

Ответ: $10! \cdot 11 = 11!$.

3) $15 \cdot 14! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 15!$

В этом примере $14!$ — это произведение всех чисел от 1 до 14:

$$14! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 14$$

Когда мы умножаем $14!$ на 15, то получаем полный факториал от 15, так как:

$$15 \cdot 14! = 15!$$

Ответ: $15 \cdot 14! = 15!$.

4) $12 \cdot 11! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12!$

Аналогично предыдущим примерам:

$$11! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 11$$

Когда мы умножаем $11!$ на 12, то получаем $12!$, так как:

$$12 \cdot 11! = 12!$$

Ответ: $12 \cdot 11! = 12!$.

5) $k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!$

Здесь нам нужно использовать определение факториала. Напоминаем, что $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$. Когда мы умножаем $k!$ на $(k + 1)$, то это и есть определение факториала для $(k + 1)$, то есть:

$$k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!$$

Ответ: $k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!$.

6) $(k — 1)! \cdot k = k!$

Здесь мы снова используем определение факториала. $(k — 1)!$ — это произведение всех чисел от 1 до $k — 1$. Когда мы умножаем $(k — 1)!$ на $k$, то это становится факториалом $k$, так как:

$$(k — 1)! \cdot k = k!$$

Ответ: $(k — 1)! \cdot k = k!$.

7) $(k — 1)! \cdot k \cdot (k + 1) = (k + 1)!$

Здесь мы имеем три множителя: $(k — 1)!$, $k$ и $(k + 1)$. При умножении $(k — 1)!$ на $k$, мы получаем $k!$, затем умножая его на $(k + 1)$, получаем $(k + 1)!$:

$$(k — 1)! \cdot k \cdot (k + 1) = (k + 1)!$$

Ответ: $(k — 1)! \cdot k \cdot (k + 1) = (k + 1)!$.

8) $(k — 2)! \cdot (k — 1) \cdot k = k!$

Аналогично предыдущим выражениям, когда мы умножаем $(k — 2)!$ на $(k — 1)$ и $k$, мы получаем $k!$, так как:

$$(k — 2)! \cdot (k — 1) \cdot k = k!$$

Ответ: $(k — 2)! \cdot (k — 1) \cdot k = k!$.

9) $(k — 4)! \cdot (k^2 — 5k + 6)$

Разложим второй множитель $k^2 — 5k + 6$. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение:

$$k^2 — 5k + 6 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения:

$$k_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad k_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Следовательно:

$$k^2 — 5k + 6 = (k — 3)(k — 2)$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$(k — 4)! \cdot (k^2 — 5k + 6) = (k — 4)! \cdot (k — 3) \cdot (k — 2)$$

Это выражение можно упростить как:

$$(k — 4)! \cdot (k — 3) \cdot (k — 2) = (k — 2)!$$

Ответ: $(k — 4)! \cdot (k^2 — 5k + 6) = (k — 2)!$.

10) $(k — 3)! \cdot (k^2 — 3k + 2)$

Разложим второй множитель $k^2 — 3k + 2$. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение:

$$k^2 — 3k + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Корни уравнения:

$$k_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad k_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Следовательно:

$$k^2 — 3k + 2 = (k — 2)(k — 1)$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$(k — 3)! \cdot (k^2 — 3k + 2) = (k — 3)! \cdot (k — 2) \cdot (k — 1)$$

Это выражение можно упростить как:

$$(k — 3)! \cdot (k — 2) \cdot (k — 1) = (k — 1)!$$

Ответ: $(k — 3)! \cdot (k^2 — 3k + 2) = (k — 1)!$.

Итоговые ответы:

1. $6! \cdot 7 = 7!$
2. $10! \cdot 11 = 11!$
3. $15 \cdot 14! = 15!$
4. $12 \cdot 11! = 12!$
5. $k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!$
6. $(k — 1)! \cdot k = k!$
7. $(k — 1)! \cdot k \cdot (k + 1) = (k + 1)!$
8. $(k — 2)! \cdot (k — 1) \cdot k = k!$
9. $(k — 4)! \cdot (k^2 — 5k + 6) = (k — 2)!$
10. $(k — 3)! \cdot (k^2 — 3k + 2) = (k — 1)!$