ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 106 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:

1. b2=-81, s2=162;
2. b2=-33, s2=67;
3. b1+b2=130, b1-b3=120;
4. b2+b4=68, b2-b4=60.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

1)$$b_2 = -81 \quad \text{и} \quad S_2 = 162;$$

$$b_2 = b_1 \cdot q, \quad \text{отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q};$$

$$S_2 = \frac{b_1(1 — q^2)}{1 — q} = \frac{\frac{b_2}{q}(1 — q^2)}{1 — q} = \frac{b_2(1 — q)(1 + q)}{q(1 — q)} = \frac{b_2(1 + q)}{q};$$

$$S_2 = \frac{-81(1 + q)}{q} = 162;$$

$$-81(1 + q) = 162q;$$

$$-81 — 81q = 162q;$$

$$243q = -81, \quad \text{отсюда } q = \frac{-81}{243} = -\frac{1}{3};$$

$$|q| < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает};$$

2)$$b_2 = 33 \quad \text{и} \quad S_2 = 67;$$

$$b_2 = b_1 \cdot q, \quad \text{отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q};$$

$$S_2 = \frac{b_1(1 — q^2)}{1 — q} = \frac{\frac{b_2}{q}(1 — q^2)}{1 — q} = \frac{b_2(1 — q)(1 + q)}{q(1 — q)} = \frac{b_2(1 + q)}{q};$$

$$S_2 = \frac{33(1 + q)}{q} = 67;$$

$$33(1 + q) = 67q;$$

$$33 + 33q = 67q;$$

$$34q = 33, \quad \text{отсюда } q = \frac{33}{34};$$

$$|q| < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает};$$

3)$$b_1 + b_2 = 130 \quad \text{и} \quad b_1 — b_3 = 120;$$

Второе выражение:

$$b_1 — b_1 \cdot q^2 = 120;$$

$$b_1 \cdot (1 — q^2) = 120;$$

$$b_1 = \frac{120}{1 — q^2};$$

Первое выражение:

$$b_1 + b_1 \cdot q = 130;$$

$$\frac{120}{1 — q^2} + \frac{120}{1 — q^2} \cdot q — 130 = 0 \quad | \cdot (1 — q^2);$$

$$120 + 120q — 130(1 — q^2) = 0;$$

$$120 + 120q — 130 + 130q^2 = 0;$$

$$130q^2 + 120q — 10 = 0 \quad | : 10;$$

$$13q^2 + 12q — 1 = 0;$$

$$D = 12^2 + 4 \cdot 13 = 144 + 52 = 196, \quad \text{тогда:}$$

$$q_1 = \frac{-12 — \sqrt{196}}{2 \cdot 13} = \frac{-12 — 14}{26} = \frac{-26}{26} = -1;$$

$$q_2 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2 \cdot 13} = \frac{-12 + 14}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — q^2 \neq 0, \quad \text{отсюда } q \neq \pm 1;$$

Таким образом:

$$|q| = \frac{1}{13} < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает};$$

4)$$b_2 + b_4 = 68 \quad \text{и} \quad b_2 — b_4 = 60;$$

Первое выражение:

$$b_2 + b_4 = 68;$$

$$b_2 = 68 — b_4;$$

Второе выражение:

$$b_2 — b_4 = 60;$$

$$68 — b_4 — b_4 = 60;$$

$$-2b_4 = -8;$$

$$b_4 = \frac{-8}{-2} = 4;$$

$$b_2 = 68 — 4 = 64;$$

Значение знаменателя прогрессии:

$$b_2 = b_1 \cdot q, \quad \text{отсюда } b_1 = \frac{64}{q};$$

$$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 4, \quad \text{отсюда } b_1 = \frac{4}{q^3};$$

$$\frac{64}{q} = \frac{4}{q^3};$$

$$64q^3 = 4q;$$

$$64q^3 — 4q = 0;$$

$$16q^3 — q = 0;$$

$$q \cdot (16q^2 — 1) = 0;$$

$$q \cdot (4q — 1)(4q + 1) = 0;$$

$$q_1 = 0, \quad q_2 = \frac{1}{4}, \quad q_3 = -\frac{1}{4};$$

Таким образом:

$$|q| = \frac{1}{4} < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает};$$

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

1)

Дано:

$$b_2 = -81 \quad \text{и} \quad S_2 = 162$$

где $b_2$ — второй элемент прогрессии, $S_2$ — сумма первых двух членов прогрессии. Нам нужно найти знаменатель прогрессии $q$, используя информацию о втором элементе и сумме двух первых элементов прогрессии.

Шаг 1: Используем формулы для элементов и суммы геометрической прогрессии

Во-первых, мы знаем, что второй элемент прогрессии $b_2$ можно выразить через первый элемент $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$ следующим образом:

$$b_2 = b_1 \cdot q$$

отсюда:

$$b_1 = \frac{b_2}{q}$$

Теперь, используя формулу для суммы первых двух членов геометрической прогрессии $S_2$, которая равна:

$$S_2 = b_1 \cdot \frac{1 — q^2}{1 — q}$$

мы подставим выражение для $b_1$:

$$S_2 = \frac{b_2}{q} \cdot \frac{1 — q^2}{1 — q}$$

Используя идентичность $(1 — q^2) = (1 — q)(1 + q)$, получаем:

$$S_2 = \frac{b_2}{q} \cdot \frac{(1 — q)(1 + q)}{1 — q} = \frac{b_2(1 + q)}{q}$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

Теперь подставим известные значения $b_2 = -81$ и $S_2 = 162$:

$$162 = \frac{-81(1 + q)}{q}$$

Умножим обе стороны на $q$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$162q = -81(1 + q)$$

Раскроем скобки:

$$162q = -81 — 81q$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$162q + 81q = -81$$

$$243q = -81$$

Шаг 3: Находим $q$

Теперь решим для $q$:

$$q = \frac{-81}{243} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 4: Проверка условия

Проверим, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы:

$$|q| = \left|\frac{-1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1$$

Это подтверждает, что прогрессия бесконечно убывает.

Ответ для 1): $q = -\frac{1}{3}$, прогрессия бесконечно убывает.

2)

Дано:

$$b_2 = 33 \quad \text{и} \quad S_2 = 67$$

Аналогично решаем задачу, как и в первом случае.

Шаг 1: Используем формулы для элементов и суммы прогрессии

Опять же, используя формулы для геометрической прогрессии, мы имеем:

$$b_2 = b_1 \cdot q$$

отсюда:

$$b_1 = \frac{b_2}{q}$$

Сумма первых двух элементов:

$$S_2 = \frac{b_1(1 — q^2)}{1 — q}$$

подставляем $b_1 = \frac{b_2}{q}$:

$$S_2 = \frac{\frac{b_2}{q}(1 — q^2)}{1 — q} = \frac{b_2(1 + q)}{q}$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

Подставим значения $b_2 = 33$ и $S_2 = 67$:

$$67 = \frac{33(1 + q)}{q}$$

Умножаем обе стороны на $q$:

$$67q = 33(1 + q)$$

Раскрываем скобки:

$$67q = 33 + 33q$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$67q — 33q = 33$$

$$34q = 33$$

Шаг 3: Находим $q$

Решаем для $q$:

$$q = \frac{33}{34}$$

Шаг 4: Проверка условия

Проверим, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы:

$$|q| = \left|\frac{33}{34}\right| < 1$$

Это также подтверждает, что прогрессия бесконечно убывает.

Ответ для 2): $q = \frac{33}{34}$, прогрессия бесконечно убывает.

3)

Дано:

$b_1 + b_2 = 130$ — сумма первого и второго элементов геометрической прогрессии.

$b_1 — b_3 = 120$ — разница первого и третьего элементов прогрессии.

Задача заключается в нахождении знаменателя прогрессии $q$, используя вышеуказанные данные.

Анализ второго выражения:

Итак, во втором уравнении дано:

$$b_1 — b_3 = 120$$

Напомним, что элементы геометрической прогрессии могут быть выражены через первый элемент $b_1$ и знаменатель $q$. Тогда третий элемент прогрессии $b_3$ можно записать как:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2$$

Таким образом, второе уравнение становится:

$$b_1 — b_1 \cdot q^2 = 120$$

Теперь вынесем $b_1$ за скобки:

$$b_1 \cdot (1 — q^2) = 120$$

Теперь выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{120}{1 — q^2}$$

Это выражение для $b_1$ будем использовать в следующем шаге.

Анализ первого выражения:

Теперь перейдем к первому уравнению:

$$b_1 + b_2 = 130$$

Напомним, что второй элемент прогрессии можно выразить через первый и знаменатель $q$ как:

$$b_2 = b_1 \cdot q$$

Тогда первое уравнение можно записать как:

$$b_1 + b_1 \cdot q = 130$$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$$b_1 \cdot (1 + q) = 130$$

Теперь подставим выражение для $b_1$ из второго уравнения:

$$\frac{120}{1 — q^2} \cdot (1 + q) = 130$$

Умножаем на $1 — q^2$:

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны на $1 — q^2$:

$$120 \cdot (1 + q) = 130 \cdot (1 — q^2)$$

Теперь раскрываем скобки:

$$120 + 120q = 130 — 130q^2$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$130q^2 + 120q — 10 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Теперь решим квадратное уравнение:

$$130q^2 + 120q — 10 = 0$$

Разделим обе стороны на 10, чтобы упростить уравнение:

$$13q^2 + 12q — 1 = 0$$

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 13$, $b = 12$, $c = -1$. Подставим эти значения в формулу:

$$q = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 — 4 \cdot 13 \cdot (-1)}}{2 \cdot 13}$$

Вычислим дискриминант:

$$\Delta = 12^2 — 4 \cdot 13 \cdot (-1) = 144 + 52 = 196$$

Теперь найдем корни:

$$q_1 = \frac{-12 — \sqrt{196}}{26} = \frac{-12 — 14}{26} = \frac{-26}{26} = -1$$

$$q_2 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{26} = \frac{-12 + 14}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$$

Проверка условий:

Так как $q$ — это знаменатель прогрессии, то он не может быть равен $\pm 1$, так как это нарушает определение геометрической прогрессии. Таким образом, из корней $q_1 = -1$ и $q_2 = \frac{1}{13}$, мы исключаем $q_1 = -1$, так как это недопустимо.

Значит, остаётся:

$$q = \frac{1}{13}$$

Ответ:$$|q| = \frac{1}{13} < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает}.$$

Таким образом, геометрическая прогрессия с данным знаменателем $q = \frac{1}{13}$ будет бесконечно убывающей.

4)

Дано:

1. $b_2 + b_4 = 68$ — сумма второго и четвертого элементов геометрической прогрессии.
2. $b_2 — b_4 = 60$ — разница второго и четвертого элементов прогрессии.

Задача состоит в нахождении знаменателя прогрессии $q$

Шаг 1. Использование первого выражения $b_2 + b_4 = 68$

Из первого уравнения:

$$b_2 + b_4 = 68$$

Можно выразить $b_2$ через $b_4$:

$$b_2 = 68 — b_4$$

Шаг 2. Использование второго выражения $b_2 — b_4 = 60$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$b_2 — b_4 = 60$$

Подставим выражение для $b_2$ из первого уравнения:

$$(68 — b_4) — b_4 = 60$$

Упростим:

$$68 — 2b_4 = 60$$

Теперь переносим 68 на правую сторону:

$$-2b_4 = 60 — 68$$

$$-2b_4 = -8$$

Теперь разделим обе стороны на -2:

$$b_4 = \frac{-8}{-2} = 4$$

Теперь, зная $b_4 = 4$, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти $b_2$:

$$b_2 = 68 — 4 = 64$$

Шаг 3. Использование формулы для элементов геометрической прогрессии

Для геометрической прогрессии элементы можно выразить через первый элемент $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$. То есть:

$$b_2 = b_1 \cdot q \quad \text{и} \quad b_4 = b_1 \cdot q^3$$

Теперь подставим известные значения для $b_2$ и $b_4$:

$b_2 = 64 = b_1 \cdot q$, откуда:

$$b_1 = \frac{64}{q}$$

$b_4 = 4 = b_1 \cdot q^3$, откуда:

$$b_1 = \frac{4}{q^3}$$

Теперь приравняем два выражения для $b_1$:

$$\frac{64}{q} = \frac{4}{q^3}$$

Умножим обе стороны на $q^3$ для упрощения:

$$64q^3 = 4q$$

Теперь разделим обе стороны на $q$ (предположим, что $q \neq 0$):

$$64q^2 = 4$$

Поделим обе стороны на 4:

$$16q^2 = 1$$

Теперь разделим обе стороны на 16:

$$q^2 = \frac{1}{16}$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$$q = \pm \frac{1}{4}$$

Шаг 4. Рассмотрение корней

Мы получили два возможных значения для $q$:

$$q_1 = \frac{1}{4}, \quad q_2 = -\frac{1}{4}$$

Так как для геометрической прогрессии знаменатель $q$ должен удовлетворять условию $|q| < 1$ (чтобы прогрессия была бесконечно убывающей), то оба значения $q_1 = \frac{1}{4}$ и $q_2 = -\frac{1}{4}$ подходят, поскольку их модули меньше 1.

Шаг 5. Вывод

Так как $|q| = \frac{1}{4} < 1$, прогрессия будет бесконечно убывающей, независимо от знака $q$

Ответ:$$|q| = \frac{1}{4} < 1 \quad \text{— прогрессия бесконечно убывает}.$$