ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1042 Алимов — Подробные Ответы

При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2 + рх, где р — заданное число, и прямой у = kx + 1, наименьшая?

$y = x^2 + px$ и $y = kx + 1$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 + px = kx + 1;$$ $$x^2 + px — kx — 1 = 0;$$ $$x^2 + (p — k)x — 1 = 0;$$ $$D = (p — k)^2 — 4, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{k — p — \sqrt{D}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{k — p + \sqrt{D}}{2};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} \big((kx + 1) — (x^2 + px)\big) \, dx = \int_{x_1}^{x_2} (kx + 1 — x^2 — px) \, dx =$$ $$= \left(k \cdot \frac{x^2}{2} + x — \frac{x^3}{3} — p \cdot \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{x_1}^{x_2} = \left(\frac{k — p}{2} \cdot x^2 + x — \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{x_1}^{x_2} =$$ $$= \frac{k — p}{2} \cdot x_2^2 + x_2 — \frac{x_2^3}{3} — \frac{k — p}{2} \cdot x_1^2 — x_1 + \frac{x_1^3}{3} =$$ $$= \frac{k — p}{2} \cdot (x_2^2 — x_1^2) — \frac{1}{3}(x_2^3 — x_1^3) + (x_2 — x_1);$$

Разность значений крайних точек:

$$x_2 — x_1 = \frac{k — p + \sqrt{D}}{2} — \frac{k — p — \sqrt{D}}{2} = \frac{k — p + \sqrt{D} — k + p + \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D};$$

Разность квадратов:

$$x_2^2 — x_1^2 = \frac{1}{4} \big((k — p + \sqrt{D})^2 — (k — p — \sqrt{D})^2\big) = (k — p) \cdot \sqrt{D};$$

Разность кубов:

$$x_2^3 — x_1^3 = (x_2 — x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2) =$$ $$= \sqrt{D} \cdot \frac{1}{4} \big((k — p + \sqrt{D})^2 + (k — p)^2 — D + (k — p — \sqrt{D})^2\big) =$$ $$= \frac{1}{4} \sqrt{D} \cdot \big(2(k — p)^2 + 2D + (k — p)^2 — D\big) = \frac{1}{4} \sqrt{D} \cdot \big(3(k — p)^2 + D\big);$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \frac{k — p}{2} \cdot (k — p) \cdot \sqrt{D} — \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{D} \cdot \big(3(k — p)^2 + D\big) + \sqrt{D} =$$ $$= \sqrt{D} \cdot \left(-\frac{1}{4}(k — p)^2 — \frac{1}{12}D + \frac{1}{2}(k — p)^2 + 1\right) =$$ $$= \sqrt{D} \cdot \left(\frac{1}{4}(k — p)^2 — \frac{1}{12}D + 1\right);$$ $$S(x) = \sqrt{(p — k)^2 + 4} \cdot \left(\frac{1}{4}(k — p)^2 — \frac{1}{12}(k — p)^2 — \frac{1}{3} + 1\right) =$$ $$= \sqrt{(p — k)^2 + 4} \cdot \left(\frac{1}{6}(k — p)^2 + \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} \sqrt{(p — k)^2 + 4} \cdot \big((k — p)^2 + 4\big);$$

Пусть $u = (p — k)^2 + 4$, тогда $S(u) = \frac{1}{6} u \sqrt{u} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}}$;

$$S'(k) = ((p — k)^2 + 4)’ \cdot \left(\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}}\right)’ = (-2 \cdot (p — k) + 0) \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}};$$ $$S'(k) = (-2p + 2k) \cdot \frac{1}{4} \sqrt{u} = \frac{2k — 2p}{4 \sqrt{(p — k)^2 + 4}};$$

Промежуток возрастания:

$$2k — 2p > 0;$$ $$2k > 2p, \text{отсюда } k > p;$$

$k = p$ — точка минимума;

Ответ: $k = p$.

=Даны две функции:

$$y = x^2 + px \quad \text{и} \quad y = kx + 1$$

Нужно найти точки их пересечения и вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной этими функциями. Для этого подробно разберем все шаги решения.

Шаг 1: Нахождение точек пересечения функций

Для того чтобы найти точки пересечения функций, приравняем их правые части:

$$x^2 + px = kx + 1$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 + px — kx — 1 = 0$$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$$x^2 + (p — k)x — 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$, которое можно решить с помощью дискриминанта. В данном уравнении коэффициенты следующие:

• $a = 1$ (при $x^2$),
• $b = p — k$ (при $x$),
• $c = -1$ (свободный член).

Для нахождения корней уравнения вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (p — k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = (p — k)^2 + 4$$

Теперь, зная дискриминант, можем найти корни уравнения по формулам:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{k — p — \sqrt{D}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{k — p + \sqrt{D}}{2}$$

Итак, точки пересечения функций — это $x_1$ и $x_2$.

Шаг 2: Площадь криволинейной трапеции

Теперь нужно вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками этих функций. Площадь между двумя кривыми $y_1 = f(x)$ и $y_2 = g(x)$ на отрезке от $x_1$ до $x_2$ вычисляется по формуле:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} \left( f(x) — g(x) \right) dx$$

В нашем случае $f(x) = kx + 1$ и $g(x) = x^2 + px$. Таким образом, площадь будет вычисляться как:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} \left( (kx + 1) — (x^2 + px) \right) dx = \int_{x_1}^{x_2} \left( kx + 1 — x^2 — px \right) dx$$

Упростим выражение под интегралом:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} \left( -x^2 + (k — p)x + 1 \right) dx$$

Теперь будем интегрировать каждую часть по очереди:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} -x^2 dx + \int_{x_1}^{x_2} (k — p)x dx + \int_{x_1}^{x_2} 1 dx$$

Выполним интегрирование по каждой из этих частей:

Интеграл от $-x^2$:

$$\int_{x_1}^{x_2} -x^2 dx = -\frac{x^3}{3} \Big|_{x_1}^{x_2} = -\frac{x_2^3}{3} + \frac{x_1^3}{3}$$

Интеграл от $(k — p)x$:

$$\int_{x_1}^{x_2} (k — p)x dx = \frac{(k — p)x^2}{2} \Big|_{x_1}^{x_2} = \frac{(k — p)x_2^2}{2} — \frac{(k — p)x_1^2}{2}$$

Интеграл от $1$:

$$\int_{x_1}^{x_2} 1 dx = x \Big|_{x_1}^{x_2} = x_2 — x_1$$

Теперь, сложив все эти выражения, получаем:

$$S = \left( \frac{(k — p)x_2^2}{2} — \frac{(k — p)x_1^2}{2} \right) — \frac{1}{3} \left( x_2^3 — x_1^3 \right) + (x_2 — x_1)$$

Шаг 3: Упростим выражения для разностей

Далее нужно упростить выражения для разности квадратов и кубов:

Разность значений крайних точек $x_2 — x_1$:

$$x_2 — x_1 = \frac{k — p + \sqrt{D}}{2} — \frac{k — p — \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}$$

Разность квадратов $x_2^2 — x_1^2$:

$$x_2^2 — x_1^2 = \left( \frac{1}{4} \right) \left( (k — p + \sqrt{D})^2 — (k — p — \sqrt{D})^2 \right) = (k — p) \cdot \sqrt{D}$$

Разность кубов $x_2^3 — x_1^3$:

$$x_2^3 — x_1^3 = (x_2 — x_1) \left( x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 \right)$$ $$= \sqrt{D} \cdot \frac{1}{4} \left( (k — p + \sqrt{D})^2 + (k — p)^2 — D + (k — p — \sqrt{D})^2 \right)$$ $$= \frac{1}{4} \sqrt{D} \cdot \left( 3(k — p)^2 + D \right)$$

Шаг 4: Площадь после упрощений

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади:

$$S = \frac{k — p}{2} \cdot (k — p) \cdot \sqrt{D} — \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{D} \cdot \left( 3(k — p)^2 + D \right) + \sqrt{D}$$ $$= \sqrt{D} \left( -\frac{1}{4}(k — p)^2 — \frac{1}{12}D + \frac{1}{2}(k — p)^2 + 1 \right)$$ $$= \sqrt{D} \left( \frac{1}{4}(k — p)^2 — \frac{1}{12}D + 1 \right)$$

Шаг 5: Введение нового переменного

Пусть $u = (p — k)^2 + 4$, тогда:

$$S(u) = \frac{1}{6} u \sqrt{u} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}}$$

Вычислим производную площади по $k$:

$$S'(k) = ((p — k)^2 + 4)’ \cdot \left( \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right)’ = (-2 \cdot (p — k)) \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$$ $$S'(k) = \frac{2k — 2p}{4 \sqrt{(p — k)^2 + 4}}$$

Шаг 6: Промежуток возрастания функции

Теперь, чтобы найти промежуток возрастания, анализируем знак производной $S'(k)$:

$$S'(k) > 0 \quad \Rightarrow \quad 2k — 2p > 0 \quad \Rightarrow \quad k > p$$

Таким образом, функция $S(k)$ возрастает на промежутке $k > p$.

Итак, точка минимума функции — это $k = p$.

Ответ:

$$k = p$$