ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1037 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (0;пи/2) 1/2cos(x+пи/4)dx;
2. интеграл (0;пи/3) 1/3sin(x-пи/3)dx;
3. интеграл (1;3) sin(3x-6)dx;
4. интеграл (0;3) 8cos(4x-12)dx.

1)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = \frac{1}{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) — \frac{1}{2} \sin \left( 0 + \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 — \sqrt{2}}{4};$$

2)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3} \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) \, dx = -\frac{1}{3} \cos \left( x — \frac{\pi}{3} \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} =$$ $$= -\frac{1}{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{3} \cos \left( 0 — \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{3} \cdot \cos 0 + \frac{1}{3} \cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} =$$ $$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{6};$$

3)

$$\int_{1}^{3} 3 \sin (3x — 6) \, dx = 3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \cos (3x — 6) \right) \bigg|_{1}^{3} = -\cos (3x — 6) \bigg|_{1}^{3} =$$ $$= -\cos (3 \cdot 3 — 6) + \cos (3 — 6) = -\cos 3 + \cos (-3) = -\cos 3 + \cos 3 = 0;$$

4)

$$\int_{0}^{3} 8 \cos (4x — 12) \, dx = 8 \cdot \frac{1}{4} \sin (4x — 12) \bigg|_{0}^{3} = 2 \sin (4x — 12) \bigg|_{0}^{3} =$$ $$= 2 \cdot \sin (4 \cdot 3 — 12) — 2 \cdot \sin (0 — 12) = 2 \cdot \sin 0 + 2 \sin 12 = 2 \sin 12;$$

1)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) dx$$

Шаг 2: Интегрируем

Используем формулу:

$$\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b)$$

Здесь $a = 1$, $b = \frac{\pi}{4}$, значит:

$$\int \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Подставляем:

$$= \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \right] \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

Шаг 3: Вычисляем значения на границах

• Верхний предел:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$

• Нижний предел:

$$\sin\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Разность значений

$$= \frac{1}{2} \cdot \left(1 — \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Итог:

$$\boxed{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}}$$

2)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3} \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель

$$= \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) dx$$

Шаг 2: Интегрируем

$$\int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b)$$

Здесь $a = 1$, $b = -\frac{\pi}{3}$, значит:

$$\int \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) dx = -\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Подставляем:

$$= -\frac{1}{3} \cdot \left[ \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \right] \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

Шаг 3: Вычисления:

• Верхний предел:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3}\right) = \cos(0) = 1$$

• Нижний предел:

$$\cos\left(0 — \frac{\pi}{3}\right) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Разность:

$$= -\frac{1}{3}(1 — \frac{1}{2}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$$

Итог:

$$\boxed{-\frac{1}{6}}$$

3)

$$\int_{1}^{3} 3 \sin (3x — 6) \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель

$$= 3 \cdot \int_{1}^{3} \sin (3x — 6) \, dx$$

Шаг 2: Интеграл:

$$\int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) \Rightarrow \int \sin(3x — 6) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x — 6)$$ $$\Rightarrow 3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \cos(3x — 6) \right) = -\cos(3x — 6)$$

Шаг 3: Подстановка пределов:

$$-\cos(3x — 6) \bigg|_{1}^{3} = -\cos(3 \cdot 3 — 6) + \cos(3 \cdot 1 — 6)$$

• Верхний предел:

$$\cos(9 — 6) = \cos(3)$$

• Нижний предел:

$$\cos(3 — 6) = \cos(-3) = \cos(3)$$ $$\Rightarrow -\cos(3) + \cos(3) = 0$$

Итог:

$$\boxed{0}$$

4)

$$\int_{0}^{3} 8 \cos (4x — 12) \, dx$$

Шаг 1: Вынесем множитель

$$= 8 \cdot \int_{0}^{3} \cos (4x — 12) \, dx$$

Шаг 2: Интеграл:

$$\int \cos(ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) \Rightarrow \int \cos(4x — 12) dx = \frac{1}{4} \sin(4x — 12)$$ $$\Rightarrow 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sin(4x — 12) = 2 \cdot \sin(4x — 12)$$

Шаг 3: Подстановка пределов:

$$2 \cdot \sin(4x — 12) \bigg|_0^3 = 2 \cdot \sin(12 — 12) — 2 \cdot \sin(0 — 12)$$

• Верхний предел:

$$\sin(0) = 0$$

• Нижний предел:

$$\sin(-12) = -\sin(12)$$ $$\Rightarrow 0 — 2 \cdot (-\sin 12) = 2 \cdot \sin 12$$

Итог:

$$\boxed{2 \sin 12}$$