ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1025 Алимов — Подробные Ответы

Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t = tx до t = t2:

1. v(t) = 3t2 + 1, t1 =0, t2=4;
2. v(t) = 2t2 + t, t1 = 1, t2 = 3.

$v(t) = 3t^2 + 1$, $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$:

$$S = \int_{0}^{4}(3t^2 + 1)\,dx = \left(3\cdot\frac{t^3}{3} + 1\cdot\frac{t^1}{1}\right)\bigg|_{0}^{4} = (t^3 + t)\bigg|_{0}^{4};$$ $$S = 4^3 + 4 — 0^3 — 0 = 64 + 4 = 68\,(\text{м});$$

Ответ: 68 метров.

$v(t) = 2t^2 + t$, $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$:

$$S = \int_{1}^{3}(2t^2 + t)\,dx = \left(\frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{3} = \frac{2\cdot3^3}{3} + \frac{3^2}{2} — \frac{2\cdot1^3}{3} — \frac{1^2}{2};$$ $$S = 18 + \frac{9}{2} — \frac{2}{3} — \frac{1}{2} = 18 + 4 — \frac{2}{3} = 22 — \frac{2}{3} = 21\frac{1}{3}\,(\text{м});$$

Ответ: $21\frac{1}{3}$ метров.

Задача №1

Условие задачи:

Дано:

$$v(t) = 3t^2 + 1,\quad t_1 = 0,\quad t_2 = 4.$$

Нужно найти пройденный путь $S$.

Шаг 1: Запишем формулу, по которой определяется путь при заданной скорости через интеграл:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

Подставим известные значения:

$$S = \int_{0}^{4}(3t^2 + 1)\,dt.$$

Шаг 2: Выполним интегрирование функции $3t^2 + 1$ по переменной $t$:

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$$\int(3t^2 + 1)\,dt = 3\int t^2\,dt + \int 1\,dt.$$

Теперь вычислим каждый интеграл отдельно:

• Первый интеграл:

$$3\int t^2\,dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3.$$

• Второй интеграл:

$$\int 1\,dt = t.$$

Следовательно:

$$\int(3t^2 + 1)\,dt = t^3 + t.$$

Шаг 3: Подставим пределы интегрирования от 0 до 4 в найденную первообразную:

$$S = (t^3 + t)\bigg|_{0}^{4}.$$

Расписываем это выражение детально по правилу Ньютона-Лейбница:

$$S = (4^3 + 4) — (0^3 + 0).$$

Шаг 4: Упростим полученное выражение:

Вычисляем степени и суммы:

$$S = (64 + 4) — (0 + 0) = 68.$$

Ответ по задаче №1:

$$S = 68\,(\text{м}).$$

Задача №2

Условие задачи:

Дано:

$$v(t) = 2t^2 + t,\quad t_1 = 1,\quad t_2 = 3.$$

Необходимо найти пройденный путь $S$.

Шаг 1: Запишем формулу для пройденного пути через интеграл скорости:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

Подставим известные значения:

$$S = \int_{1}^{3}(2t^2 + t)\,dt.$$

Шаг 2: Выполним интегрирование функции $2t^2 + t$:

Разделим на два интеграла:

$$\int(2t^2 + t)\,dt = 2\int t^2\,dt + \int t\,dt.$$

Теперь вычислим интегралы отдельно:

• Первый интеграл:

$$2\int t^2\,dt = 2\cdot\frac{t^3}{3} = \frac{2t^3}{3}.$$

• Второй интеграл:

$$\int t\,dt = \frac{t^2}{2}.$$

Таким образом:

$$\int(2t^2 + t)\,dt = \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2}.$$

Шаг 3: Подставим пределы интегрирования от 1 до 3 в найденную первообразную:

$$S = \left(\frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{3}.$$

Расписываем подробно по правилу Ньютона-Лейбница:

$$S = \left(\frac{2\cdot3^3}{3} + \frac{3^2}{2}\right) — \left(\frac{2\cdot1^3}{3} + \frac{1^2}{2}\right).$$

Шаг 4: Упростим каждое выражение отдельно:

• Левая часть (верхний предел $t=3$):

$$\frac{2\cdot27}{3} + \frac{9}{2} = 18 + \frac{9}{2}.$$

• Правая часть (нижний предел $t=1$):

$$\frac{2\cdot1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}.$$

Итого:

$$S = \left(18 + \frac{9}{2}\right) — \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right).$$

Шаг 5: Приведём к общему знаменателю и вычислим:

$$18 + \frac{9}{2} = 18 + 4.5 = 22.5.$$ $$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \approx 1.1667.$$

Теперь вычтем вторую сумму из первой:

$$S = 22.5 — \frac{7}{6} = \frac{45}{2} — \frac{7}{6}.$$

Приведём к общему знаменателю (6):

$$S = \frac{135}{6} — \frac{7}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}.$$

Переведём в смешанную дробь:

$$\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}.$$

Ответ по задаче №2:

$$S = 21\frac{1}{3}\,(\text{м}).$$

Итоговые ответы:

1. $S = 68\,(\text{м})$.
2. $S = 21\frac{1}{3}\,(\text{м})$.