ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1018 Алимов — Подробные Ответы

1. параболами у = 6л:2, у = (х — 3) (х — 4) и осью Ox;
2. параболами у = 4 — х2, у = (х — 2)2 и осью Ох.

1) $y = 6x^2$ и $y = (x-3)(x-4)$;

Точки пересечения функций:

$$6x^2 = (x-3)(x-4);$$ $$6x^2 = x^2 — 4x — 3x + 12;$$ $$6x^2 = x^2 — 7x + 12;$$ $$5x^2 + 7x — 12 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 5 \cdot 12 = 49 + 240 = 289, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-7 — 17}{2 \cdot 5} = -2.4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 5} = 1;$$

Первая функция:

$$6x^2 > 0;$$ $$6x^2 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 0;$$

Вторая функция:

$$(x-3)(x-4) > 0;$$ $$x < 3 \text{ или } x > 4;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} 6x^2 \, dx + \int_{1}^{3} (x^2 — 7x + 12) \, dx =$$ $$= \left( 6 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1} + \left( \frac{x^3}{3} — 7 \cdot \frac{x^2}{2} + 12x \right) \bigg|_{1}^{3} =$$ $$= 2x^3 \bigg|_{0}^{1} + \left( x \left( \frac{x^2}{3} — \frac{7x}{2} + 12 \right) \right) \bigg|_{1}^{3} =$$ $$= 2 \cdot 1^3 — 2 \cdot 0^3 + 3 \cdot \left( \frac{3^2}{3} — \frac{7 \cdot 3}{2} + 12 \right) — 1 \cdot \left( \frac{1^2}{3} — \frac{7}{2} + 12 \right) =$$ $$= 2 + 3 \cdot \left( 3 — \frac{21}{2} + 12 \right) — \frac{1}{3} + \frac{7}{2} — 12 =$$ $$= 2 + 9 — \frac{63}{2} + 36 — \frac{1}{3} + \frac{7}{2} — 12 =$$ $$= 35 — \frac{56}{2} — \frac{1}{3} = 35 — 28 — \frac{1}{3} = 7 — \frac{1}{3} = 6 \frac{2}{3};$$

Ответ: $6 \frac{2}{3}$.

2) $y = 4 — x^2$ и $y = (x-2)^2$;

Точки пересечения функций:

$$4 — x^2 = (x-2)^2;$$ $$4 — x^2 = x^2 — 4x + 4;$$ $$2x^2 — 4x = 0;$$ $$2x \cdot (x-2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2;$$

Первая функция:

$$4 — x^2 > 0;$$ $$x^2 < 4;$$ $$-2 < x < 2;$$

Вторая функция:

$$(x-2)^2 > 0;$$ $$(x-2)^2 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{0} (4 — x^2) \, dx + \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx =$$ $$= \left( 4x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-2}^{0} + \left( \frac{(x-2)^3}{1 \cdot 3} \right) \bigg|_{0}^{2} =$$ $$= \left( 4 \cdot 0 — \frac{0^3}{3} \right) — \left( 4 \cdot (-2) — \frac{(-2)^3}{3} \right) + \frac{(2-2)^3}{3} — \frac{(0-2)^3}{3} =$$ $$= — \left( -8 + \frac{8}{3} \right) + \frac{0^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} = 8 — \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8;$$

Ответ: $8$.

1) $y = 6x^2$ и $y = (x-3)(x-4)$

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = 6x^2$ и $y = (x-3)(x-4)$, приравняем их:

$$6x^2 = (x-3)(x-4)$$

Раскроем правую часть:

$$6x^2 = x^2 — 4x — 3x + 12$$ $$6x^2 = x^2 — 7x + 12$$

Переносим все на одну сторону:

$$6x^2 — x^2 + 7x — 12 = 0$$ $$5x^2 + 7x — 12 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 — 17}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 17}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Таким образом, точки пересечения: $x_1 = -2.4$ и $x_2 = 1$.

Шаг 2: Рассмотрим области определения функций.

Первая функция $y = 6x^2$:

$$6x^2 > 0, \quad \text{для всех } x \neq 0.$$

Вторая функция $y = (x-3)(x-4)$:

$$(x-3)(x-4) > 0$$

Для того чтобы это выражение было больше нуля, нужно либо $x < 3$, либо $x > 4$.

Шаг 3: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции ограничена графиками на интервале $[0, 1]$ и $[1, 3]$. Для этого нужно вычислить два интеграла.

Интеграл от $y = 6x^2$ на интервале $[0, 1]$:

$$S_1 = \int_{0}^{1} 6x^2 \, dx = 6 \int_{0}^{1} x^2 \, dx = 6 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 6 \left( \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} \right) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$

Интеграл от второй функции $y = x^2 — 7x + 12$ на интервале $[1, 3]$:

$$S_2 = \int_{1}^{3} (x^2 — 7x + 12) \, dx$$

Интегрируем по частям:

$$S_2 = \int_{1}^{3} x^2 \, dx — 7 \int_{1}^{3} x \, dx + 12 \int_{1}^{3} 1 \, dx$$

Интеграл от $x^2$:

$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} — \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} — \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

Интеграл от $x$:

$$\int_{1}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{3^2}{2} — \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} — \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Интеграл от $1$:

$$\int_{1}^{3} 1 \, dx = x \bigg|_{1}^{3} = 3 — 1 = 2$$

Теперь подставим все значения:

$$S_2 = \frac{26}{3} — 7 \cdot 4 + 12 \cdot 2 = \frac{26}{3} — 28 + 24 = \frac{26}{3} — 4$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S_2 = \frac{26}{3} — \frac{12}{3} = \frac{14}{3}$$

Шаг 4: Найдем общую площадь.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = 2 + \frac{14}{3} = \frac{6}{3} + \frac{14}{3} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$S = 6 \frac{2}{3}$$

2) $y = 4 — x^2$ и $y = (x-2)^2$

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Приравняем функции $y = 4 — x^2$ и $y = (x-2)^2$:

$$4 — x^2 = (x-2)^2$$

Раскроем скобки на правой стороне:

$$4 — x^2 = x^2 — 4x + 4$$

Переносим все на одну сторону:

$$4 — x^2 — x^2 + 4x — 4 = 0$$ $$-2x^2 + 4x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$-2x(x — 2) = 0$$

Отсюда получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$$

Шаг 2: Рассмотрим области определения функций.

Первая функция $y = 4 — x^2$:

$$4 — x^2 > 0, \quad \Rightarrow \quad x^2 < 4 \quad \Rightarrow \quad -2 < x < 2.$$

Вторая функция $y = (x-2)^2$:

$$(x-2)^2 > 0, \quad \Rightarrow \quad x \neq 2.$$

Шаг 3: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиками этих функций на интервале $[-2, 0]$ и $[0, 2]$ можно вычислить, разделив задачу на два интеграла.

Интеграл от первой функции $y = 4 — x^2$ на интервале $[-2, 0]$:

$$S_1 = \int_{-2}^{0} (4 — x^2) \, dx$$

Интегрируем:

$$S_1 = \left[ 4x — \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \left( 4 \cdot 0 — \frac{0^3}{3} \right) — \left( 4 \cdot (-2) — \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ $$S_1 = 0 — \left( -8 — \frac{-8}{3} \right) = 0 + \left( 8 — \frac{8}{3} \right) = \frac{24}{3} — \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$

Интеграл от второй функции $y = (x — 2)^2$ на интервале $[0, 2]$:

$$S_2 = \int_{0}^{2} (x — 2)^2 \, dx$$

Интегрируем:

$$S_2 = \int_{0}^{2} (x^2 — 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} — 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$$

Вычисляем:

$$S_2 = \left( \frac{2^3}{3} — 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) — \left( \frac{0^3}{3} — 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right)$$ $$S_2 = \left( \frac{8}{3} — 8 + 8 \right) — 0 = \frac{8}{3}$$

Шаг 4: Найдем общую площадь.

Теперь суммируем площади $S_1$ и $S_2$:

$$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8$$

Ответ:

$$S = 8$$