ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1007 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (0;4) (x-3корень x)dx;
2. интеграл (1;9) (2x-3/корень x)dx;
3. интеграл (0;2) e3xdx;
4. интеграл (1;3) 2e2xdx.

$\int_{0}^{4} (x — 3\sqrt{x}) \, dx = \int_{0}^{4} \left(x — 3x^{\frac{1}{2}}\right) \, dx = \left(\frac{x^2}{2} — 3 \cdot x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2}\right) \bigg|_{0}^{4} =$

$= \left(\frac{x^2}{2} — 2x\sqrt{x}\right) \bigg|_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} — 2 \cdot 4\sqrt{4} — \frac{0^2}{2} — 2 \cdot 0\sqrt{0} = \frac{16}{2} — 8 \cdot 2 = 8 — 16 = -8;$

$\int_{1}^{9} \left(2x — \frac{3}{\sqrt{x}}\right) \, dx = \int_{1}^{9} \left(2x — 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}}\right) \, dx = \left(2 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2}\right) \bigg|_{1}^{9} =$

$= \left(x^2 — 6\sqrt{x}\right) \bigg|_{1}^{9} = 9^2 — 6\sqrt{9} — 1^2 + 6\sqrt{1} = 81 — 18 — 1 + 6 = 68;$

$\int_{0}^{2} e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \bigg|_{0}^{2} = \frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 2} — \frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} = \frac{e^6 — e^0}{3} = \frac{e^6 — 1}{3};$

$\int_{1}^{3} 2e^{2x} \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \bigg|_{1}^{3} = e^{2x} \bigg|_{1}^{3} = e^{2 \cdot 3} — e^{2 \cdot 1} = e^6 — e^2$

1) $\int_{0}^{4} (x — 3\sqrt{x}) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = x — 3\sqrt{x}$ на интервале от $0$ до $4$.

Шаг 1: Преобразуем подкоренные выражения и находим первообразную функции.

Перепишем функцию:

$$f(x) = x — 3x^{\frac{1}{2}}.$$

Теперь вычислим интеграл каждого слагаемого по отдельности. Для этого используем стандартное правило интегрирования степенных функций.

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x — 3x^{\frac{1}{2}}$ будет:

$$F(x) = \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{x^2}{2} — 2x^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

$$\int_{0}^{4} (x — 3\sqrt{x}) \, dx = F(4) — F(0).$$

Подставим $x = 4$ в первообразную $F(x) = \frac{x^2}{2} — 2x^{\frac{3}{2}}$:

$$F(4) = \frac{4^2}{2} — 2 \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{2} — 2 \cdot 4\sqrt{4} = 8 — 2 \cdot 8 = 8 — 16 = -8.$$

Подставим $x = 0$ в первообразную $F(x) = \frac{x^2}{2} — 2x^{\frac{3}{2}}$:

$$F(0) = \frac{0^2}{2} — 2 \cdot 0^{\frac{3}{2}} = 0.$$

Теперь вычисляем разность:

$$\int_{0}^{4} (x — 3\sqrt{x}) \, dx = F(4) — F(0) = -8 — 0 = -8.$$

Ответ:

$$-8.$$

2) $\int_{1}^{9} \left(2x — \frac{3}{\sqrt{x}}\right) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = 2x — \frac{3}{\sqrt{x}}$ на интервале от $1$ до $9$.

Шаг 1: Преобразуем подкоренные выражения и находим первообразную функции.

Перепишем функцию:

$$f(x) = 2x — 3x^{-\frac{1}{2}}.$$

Теперь вычислим интеграл каждого слагаемого по отдельности. Для этого используем стандартное правило интегрирования степенных функций.

$$\int 2x \, dx = x^2, \quad \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}}.$$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 2x — 3x^{-\frac{1}{2}}$ будет:

$$F(x) = x^2 — 6x^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

$$\int_{1}^{9} \left(2x — \frac{3}{\sqrt{x}}\right) \, dx = F(9) — F(1).$$

Подставим $x = 9$ в первообразную $F(x) = x^2 — 6x^{\frac{1}{2}}$:

$$F(9) = 9^2 — 6 \cdot \sqrt{9} = 81 — 6 \cdot 3 = 81 — 18 = 63.$$

Подставим $x = 1$ в первообразную $F(x) = x^2 — 6x^{\frac{1}{2}}$:

$$F(1) = 1^2 — 6 \cdot \sqrt{1} = 1 — 6 = -5.$$

Теперь вычисляем разность:

$$\int_{1}^{9} \left(2x — \frac{3}{\sqrt{x}}\right) \, dx = F(9) — F(1) = 63 — (-5) = 63 + 5 = 68.$$

Ответ:

$$68.$$

3) $\int_{0}^{2} e^{3x} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = e^{3x}$ на интервале от $0$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для вычисления интеграла $\int e^{3x} \, dx$, используем стандартное правило для интегрирования экспоненциальных функций. Для функции $e^{kx}$ первообразная будет:

$$\int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k}.$$

В нашем случае $k = 3$, следовательно:

$$\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

$$\int_{0}^{2} e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} \bigg|_0^2 = \frac{e^{6}}{3} — \frac{e^{0}}{3} = \frac{e^6}{3} — \frac{1}{3}.$$

Ответ:

$$\frac{e^6 — 1}{3}.$$

4) $\int_{1}^{3} 2e^{2x} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = 2e^{2x}$ на интервале от $1$ до $3$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для вычисления интеграла $\int 2e^{2x} \, dx$, используем стандартное правило для интегрирования экспоненциальных функций. Для функции $e^{kx}$ первообразная будет:

$$\int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k}.$$

В нашем случае $k = 2$, следовательно:

$$\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2}.$$

Теперь, умножив на 2, получаем:

$$\int 2e^{2x} \, dx = e^{2x}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

$$\int_{1}^{3} 2e^{2x} \, dx = e^{2x} \bigg|_1^3 = e^{6} — e^{2}.$$

Ответ:

$$e^6 — e^2.$$

Итоговые ответы:

1. $-8$
2. $68$
3. $\frac{e^6 — 1}{3}$
4. $e^6 — e^2$