ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1006 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (-3;2) (2x-3)dx;
2. интеграл (-2;-1) (5-4x)dx;
3. интеграл (-1;2) (1-3×2)dx;
4. интеграл (-1;1) (x2+1)dx;
5. интеграл (0;2) (3×2-4x+5)dx.

${1)\; \int }_{-3}^2(2x-3)dx=(2\cdot \frac{x^2}{2}-3\cdot \frac{x^1}{1}){\mid }_{-3}^2=(x^2-3x){\mid }_{-3}^2=$
$=2^2-3\cdot 2-((-3{)}^2-3\cdot (-3))=4-6-(9+9)=4-6-9-9=-20;$

${2)\; \int }_{-2}^{-1}(5-4x)dx=(5\cdot \frac{x^1}{1}-4\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_{-2}^{-1}=(5x-2x^2){\mid }_{-2}^{-1}=$
$=5\cdot (-1)-2\cdot (-1{)}^2-(5\cdot (-2)-2\cdot (-2{)}^2)=-5-2-(-10+8)=$

$=-5-2+10-8=11;$

${3)\; \int }_{-1}^2(1-3x^2)dx=(1\cdot \frac{x^1}{1}-3\cdot \frac{x^3}{3}){\mid }_{-1}^2=(x-x^3){\mid }_{-1}^2=$
$=2-2^3-((-1)-(-1{)}^3)=2-8-(-1+1)=2-8+1-1=-6;$

${4)\; \int }_{-1}^1(x^2+1)dx=(\frac{x^3}{3}+1\cdot \frac{x^1}{1}){\mid }_{-1}^1=(\frac{x^3}{3}+x){\mid }_{-1}^1=$
$=\frac{1^3}{3}+1-(\frac{(-1{)}^3}{3}+(-1))=\frac{1}{3}+1-(-\frac{1}{3}-1)=\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}+1=2\frac{2}{3};$

${5)\; \int }_0^2(3x^2-4x+5)dx=(3\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}+5\cdot \frac{x^1}{1}){\mid }_0^2=(x^3-2x^2+5x){\mid }_0^2=$
$=2^3-2\cdot 2^2+5\cdot 2-(0^3-2\cdot 0^2+5\cdot 0)=8-8+10=10$

1) ${\int }_{-3}^2(2x-3)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=2x-3$ на интервале от $-3$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $2x-3$ используем стандартные правила интегрирования для степенных и постоянных функций. Первообразная для каждого слагаемого будет:

$$\int 2xdx=x^2\text{и}\int -3dx=-3x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $2x-3$ будет:

$$F(x)=x^2-3x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используем теорему о вычислении определённых интегралов и подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$${\int }_{-3}^2(2x-3)dx=F(2)-F(-3)\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(2)$ и $F(-3)$.

Подставляем $x=2$ в первообразную $F(x)=x^2-3x$:

$$F(2)=2^2-3\cdot 2=4-6=-2.$$

Подставляем $x=-3$ в первообразную $F(x)=x^2-3x$:

$$F(-3)=(-3{)}^2-3\cdot (-3)=9+9=18.$$

Теперь вычисляем разность:

$${\int }_{-3}^2(2x-3)dx=F(2)-F(-3)=-2-18=-20.$$

Ответ:

$$-20.$$

2) ${\int }_{-2}^{-1}(5-4x)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=5-4x$ на интервале от $-2$ до $-1$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $5-4x$ используем стандартные правила интегрирования:

$$\int 5dx=5x\text{и}\int -4xdx=-2x^2\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $5-4x$ будет:

$$F(x)=5x-2x^2+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используем теорему о вычислении определённых интегралов и подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$${\int }_{-2}^{-1}(5-4x)dx=F(-1)-F(-2)\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(-1)$ и $F(-2)$.

Подставляем $x=-1$ в первообразную $F(x)=5x-2x^2$:

$$F(-1)=5\cdot (-1)-2\cdot (-1{)}^2=-5-2=-7.$$

Подставляем $x=-2$ в первообразную $F(x)=5x-2x^2$:

$$F(-2)=5\cdot (-2)-2\cdot (-2{)}^2=-10-8=-18.$$

Теперь вычисляем разность:

$${\int }_{-2}^{-1}(5-4x)dx=F(-1)-F(-2)=-7-(-18)=-7+18=11.$$

Ответ:

$$11.$$

3) ${\int }_{-1}^2(1-3x^2)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=1-3x^2$ на интервале от $-1$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $1-3x^2$ используем стандартные правила интегрирования:

$$\int 1dx=x\text{и}\int -3x^{2}dx=-x^3\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $1-3x^2$ будет:

$$F(x)=x-x^3+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используем теорему о вычислении определённых интегралов и подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$${\int }_{-1}^2(1-3x^2)dx=F(2)-F(-1)\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(2)$ и $F(-1)$.

Подставляем $x=2$ в первообразную $F(x)=x-x^3$:

$$F(2)=2-2^3=2-8=-6.$$

Подставляем $x=-1$ в первообразную $F(x)=x-x^3$:

$$F(-1)=-1-(-1{)}^3=-1+1=0.$$

Теперь вычисляем разность:

$${\int }_{-1}^2(1-3x^2)dx=F(2)-F(-1)=-6-0=-6.$$

Ответ:

$$-6.$$

4) ${\int }_{-1}^1(x^2+1)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=x^2+1$ на интервале от $-1$ до $1$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $x^2+1$ используем стандартные правила интегрирования:

$$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}\text{и}\int 1dx=x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $x^2+1$ будет:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используем теорему о вычислении определённых интегралов и подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$${\int }_{-1}^1(x^2+1)dx=F(1)-F(-1)\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(1)$ и $F(-1)$.

Подставляем $x=1$ в первообразную $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$:

$$F(1)=\frac{1^3}{3}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Подставляем $x=-1$ в первообразную $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$:

$$F(-1)=\frac{(-1{)}^3}{3}+(-1)=\frac{-1}{3}-1=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Теперь вычисляем разность:

$${\int }_{-1}^1(x^2+1)dx=F(1)-F(-1)=\frac{4}{3}-(-\frac{4}{3})=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{8}{3}\mathrm{.}$$

5) ${\int }_0^2(3x^2-4x+5)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=3x^2-4x+5$ на интервале от $0$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Для нахождения первообразной функции $3x^2-4x+5$ используем стандартные правила интегрирования:

$$\int 3x^{2}dx=x^3\text{и}\int -4xdx=-2x^2\text{и}\int 5dx=5x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $3x^2-4x+5$ будет:

$$F(x)=x^3-2x^2+5x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Используем теорему о вычислении определённых интегралов и подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$${\int }_0^2(3x^2-4x+5)dx=F(2)-F(0)\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(2)$ и $F(0)$.

Подставляем $x=2$ в первообразную $F(x)=x^3-2x^2+5x$:

$$F(2)=2^3-2\cdot 2^2+5\cdot 2=8-8+10=10.$$

Подставляем $x=0$ в первообразную $F(x)=x^3-2x^2+5x$:

$$F(0)=0^3-2\cdot 0^2+5\cdot 0=0.$$

Теперь вычисляем разность:

$${\int }_0^2(3x^2-4x+5)dx=F(2)-F(0)=10-0=10.$$

Ответ:

$$10.$$