ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 998 Алимов — Подробные Ответы

Найти одну из первообразных функции:

1. x/(x-3);
2. (x-1)/(x2+x-2);
3. cos2 x;
4. sin3xcos5x.

1. $f(x) = \frac{x}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3};$
   $F(x) = 1 \cdot \frac{x^1}{1} + 3 \cdot \frac{1}{1} \cdot \ln(x-3) = x + 3 \ln(x-3) + C;$
2. $f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{x^2-x+2x-2} = \frac{x-1}{x(x-1)+2(x-1)} = \frac{1}{x+2};$
   $F(x) = \frac{1}{1} \cdot \ln(x+2) = \ln(x+2) + C;$
3. $f(x) = \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2};$
   $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x = \frac{2x+\sin 2x}{4} + C;$
4. $f(x) = \sin 3x \cdot \cos 5x;$
   $f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin(3x+5x) + \sin(3x-5x) \right) = \frac{1}{2} \sin 8x — \frac{1}{2} \sin 2x;$
   $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \cos 8x \right) — \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = \frac{1}{4} \cos 2x — \frac{1}{16} \cos 8x;$
   $F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C;$

1) Задача 1:

Дано:

$$f(x) = \frac{x}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3}.$$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим функцию на части:

Функция $f(x) = \frac{x}{x-3}$ может быть разложена следующим образом:

$$f(x) = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3}.$$

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

Интегрируем $1$:

Интеграл от 1 равен $x$:

$$\int 1 \, dx = x.$$

Интегрируем $\frac{3}{x-3}$:

Интеграл от $\frac{1}{x-a}$ равен $\ln |x-a|$. В данном случае $a = 3$:

$$\int \frac{3}{x-3} \, dx = 3 \ln |x-3|.$$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$$F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C.$$

2) Задача 2:

Дано:

$$f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{x^2-x+2x-2} = \frac{x-1}{x(x-1)+2(x-1)} = \frac{1}{x+2}.$$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Преобразуем дробь:

Для упрощения функции, заметим, что:

$$f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{(x-1)(x+2)}.$$

Теперь можно упростить выражение, сократив $x-1$ в числителе и знаменателе:

$$f(x) = \frac{1}{x+2}.$$

Интегрируем $\frac{1}{x+2}$:

Интеграл от $\frac{1}{x+a}$ равен $\ln |x+a|$. В данном случае $a = 2$:

$$\int \frac{1}{x+2} \, dx = \ln |x+2|.$$

Ответ:

$$F(x) = \ln |x+2| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

3) Задача 3:

Дано:

$$f(x) = \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Для $\cos^2 x$ используем стандартное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Интегрируем $\frac{1}{2}$:

Интеграл от константы $\frac{1}{2}$ равен:

$$\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{x}{2}.$$

Интегрируем $\frac{\cos 2x}{2}$:

Интеграл от $\cos(ax)$ равен $\frac{\sin(ax)}{a}$. В данном случае $a = 2$:

$$\int \frac{\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{4} \sin 2x.$$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C.$$

4) Задача 4:

Дано:

$$f(x) = \sin 3x \cdot \cos 5x.$$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Используем тригонометрическое тождество для произведения синуса и косинуса:

$$\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2} \left( \sin(a+b) + \sin(a-b) \right).$$

Подставляем $a = 3x$ и $b = 5x$:

$$\sin 3x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2} \left( \sin(3x+5x) + \sin(3x-5x) \right) = \frac{1}{2} \sin 8x — \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Интегрируем $\frac{1}{2} \sin 8x$:

Интеграл от $\sin(ax)$ равен $-\frac{1}{a} \cos(ax)$. В данном случае $a = 8$:

$$\int \frac{1}{2} \sin 8x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \cos 8x \right) = -\frac{1}{16} \cos 8x.$$

Интегрируем $\frac{1}{2} \sin 2x$:

Для $\sin(ax)$ с $a = 2$:

$$\int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{4} \cos 2x.$$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$$F(x) = -\frac{1}{16} \cos 8x — \frac{1}{4} \cos 2x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C.$$

Итог:

1. $F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C$
2. $F(x) = \ln |x+2| + C$
3. $F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C$
4. $F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C$