ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 998 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти одну из первообразных функции:

x/(x-3);
(x-1)/(x2+x-2);
cos2 x;
sin3xcos5x.

Краткий ответ:

$f(x) = \frac{x}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3};$
$F(x) = 1 \cdot \frac{x^1}{1} + 3 \cdot \frac{1}{1} \cdot \ln(x-3) = x + 3 \ln(x-3) + C;$
$f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{x^2-x+2x-2} = \frac{x-1}{x(x-1)+2(x-1)} = \frac{1}{x+2};$
$F(x) = \frac{1}{1} \cdot \ln(x+2) = \ln(x+2) + C;$
$f(x) = \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2};$
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x = \frac{2x+\sin 2x}{4} + C;$
$f(x) = \sin 3x \cdot \cos 5x;$
$f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin(3x+5x) + \sin(3x-5x) \right) = \frac{1}{2} \sin 8x — \frac{1}{2} \sin 2x;$
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \cos 8x \right) — \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = \frac{1}{4} \cos 2x — \frac{1}{16} \cos 8x;$
$F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C;$

Подробный ответ:

1) Задача 1:

Дано:

$f(x) = \frac{x}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3}.$

Нужно найти первообразную $F(x)$ .

Решение:

Разделим функцию на части:

Функция $f(x) = \frac{x}{x-3}$ может быть разложена следующим образом:

$f(x) = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3}.$

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

Интегрируем $1$ :

Интеграл от 1 равен $x$ :

$\int 1 \, dx = x.$

Интегрируем $\frac{3}{x-3}$ :

Интеграл от $\frac{1}{x-a}$ равен $\ln |x-a|$ . В данном случае $a = 3$ :

$\int \frac{3}{x-3} \, dx = 3 \ln |x-3|.$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C,$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C.$

2) Задача 2:

Дано:

$f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{x^2-x+2x-2} = \frac{x-1}{x(x-1)+2(x-1)} = \frac{1}{x+2}.$

Нужно найти первообразную $F(x)$ .

Решение:

Преобразуем дробь:

Для упрощения функции, заметим, что:

$f(x) = \frac{x-1}{x^2+x-2} = \frac{x-1}{(x-1)(x+2)}.$

Теперь можно упростить выражение, сократив $x-1$ в числителе и знаменателе:

$f(x) = \frac{1}{x+2}.$

Интегрируем $\frac{1}{x+2}$ :

Интеграл от $\frac{1}{x+a}$ равен $\ln |x+a|$ . В данном случае $a = 2$ :

$\int \frac{1}{x+2} \, dx = \ln |x+2|.$

Ответ:

$F(x) = \ln |x+2| + C,$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

3) Задача 3:

Дано:

$f(x) = \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}.$

Нужно найти первообразную $F(x)$ .

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Для $\cos^2 x$ используем стандартное тригонометрическое тождество:

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}.$

Интегрируем $\frac{1}{2}$ :

Интеграл от константы $\frac{1}{2}$ равен:

$\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{x}{2}.$

Интегрируем $\frac{\cos 2x}{2}$ :

Интеграл от $\cos(ax)$ равен $\frac{\sin(ax)}{a}$ . В данном случае $a = 2$ :

$\int \frac{\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{4} \sin 2x.$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C,$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C.$

4) Задача 4:

Дано:

$f(x) = \sin 3x \cdot \cos 5x.$

Нужно найти первообразную $F(x)$ .

Решение:

Используем тригонометрическое тождество:

Используем тригонометрическое тождество для произведения синуса и косинуса:

$\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2} \left( \sin(a+b) + \sin(a-b) \right).$

Подставляем $a = 3x$ и $b = 5x$ :

$\sin 3x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2} \left( \sin(3x+5x) + \sin(3x-5x) \right) = \frac{1}{2} \sin 8x — \frac{1}{2} \sin 2x.$

Интегрируем $\frac{1}{2} \sin 8x$ :

Интеграл от $\sin(ax)$ равен $-\frac{1}{a} \cos(ax)$ . В данном случае $a = 8$ :

$\int \frac{1}{2} \sin 8x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \cos 8x \right) = -\frac{1}{16} \cos 8x.$

Интегрируем $\frac{1}{2} \sin 2x$ :

Для $\sin(ax)$ с $a = 2$ :

$\int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{4} \cos 2x.$

Объединяем результаты:

Теперь комбинируем все результаты:

$F(x) = -\frac{1}{16} \cos 8x — \frac{1}{4} \cos 2x + C,$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C.$

Итог:

$F(x) = x + 3 \ln |x-3| + C$
$F(x) = \ln |x+2| + C$
$F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C$
$F(x) = \frac{4 \cos 2x — \cos 8x}{16} + C$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы