ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 997 Алимов — Подробные Ответы

Найти первообразную функции у = 2 sin5х + 3 cosx/2 которая при x = пи/3 принимает значение, равное 0.

$$y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2};$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \cos 5x + 3 \cdot 2 \cdot \sin \frac{x}{2} = 6 \sin \frac{x}{2} — \frac{2}{5} \cos 5x + C;$$

Принимающая значение, равное 0 при $x = \frac{\pi}{3}$:

$$0 = 6 \cdot \sin \frac{\pi}{6} — \frac{2}{5} \cdot \cos \frac{5\pi}{3} + C;$$ $$0 = 6 \cdot \frac{1}{2} — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + C;$$ $$0 = 3 — 0.2 + C, \text{ отсюда } C = -2.8;$$

Ответ: $F(x) = 6 \sin \frac{x}{2} — \frac{2}{5} \cos 5x — 2.8$.

$$y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}.$$

Нужно найти первообразную функции $F(x)$, которая проходит через точку $x = \frac{\pi}{3}$, где $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Решение:

1. Нахождение первообразной

Разделим функцию на два слагаемых:

Дана функция:

$$y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}.$$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности.

1.1 Интегрирование $2 \sin 5x$:

Для интегрирования функции $\sin(ax)$, где $a$ — константа, используем стандартное правило:

$$\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax).$$

Здесь $a = 5$, значит, интегрируем:

$$\int 2 \sin 5x \, dx = 2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cos 5x = -\frac{2}{5} \cos 5x.$$

1.2 Интегрирование $3 \cos \frac{x}{2}$:

Для интегрирования функции $\cos(ax)$, где $a$ — константа, используем стандартное правило:

$$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax).$$

Здесь $a = \frac{1}{2}$, значит, интегрируем:

$$\int 3 \cos \frac{x}{2} \, dx = 3 \cdot 2 \cdot \sin \frac{x}{2} = 6 \sin \frac{x}{2}.$$

1.3 Объединяем результаты:

Теперь объединим все результаты интегрирования:

$$F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

2. Нахождение константы $C$

Задано, что функция $F(x)$ принимает значение 0 при $x = \frac{\pi}{3}$, т.е. $F\left( \frac{\pi}{3} \right) = 0$.

Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для $F(x)$ и найдём $C$:

$$0 = -\frac{2}{5} \cos 5 \cdot \frac{\pi}{3} + 6 \sin \frac{\pi}{6} + C.$$

2.1 Вычисляем значения тригонометрических функций:

$\cos 5 \cdot \frac{\pi}{3} = \cos \frac{5\pi}{3}$. Заметим, что $\frac{5\pi}{3}$ — это угол, который эквивалентен углу $\frac{\pi}{3}$, так как $\frac{5\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3}$. А косинус имеет период $2\pi$, поэтому:

$$\cos \frac{5\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

2.2 Подставляем в уравнение:

Теперь подставим вычисленные значения:

$$0 = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} + C,$$

что даёт:

$$0 = -\frac{1}{5} + 3 + C.$$

2.3 Находим $C$:

Преобразуем уравнение:

$$0 = 3 — \frac{1}{5} + C \quad \Rightarrow \quad C = -3 + \frac{1}{5} = -\frac{15}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{14}{5}.$$

3. Ответ

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}$, которая принимает значение 0 при $x = \frac{\pi}{3}$, равна:

$$F(x) = 6 \sin \frac{x}{2} — \frac{2}{5} \cos 5x — \frac{14}{5}.$$

Ответ:

$$F(x) = 6 \sin \frac{x}{2} — \frac{2}{5} \cos 5x — \frac{14}{5}.$$