ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 992 Алимов — Подробные Ответы

Для функции f (х) найти первообразную, график которой проходит через точку М:

1. f(x) = 2х + 3, М (1; 2);
2. f(x) = 4х — 1, М (-1; 3);
3. f(x) = sin 2х, М (пи/2; 5);
4. f(x) = cos 3x, M (0; 0).

1) $f(x) = 2x + 3$;

Все первообразные функции:
$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^1}{1} = x^2 + 3x + C;$

Проходящие через точку $M(1; 2)$:
$2 = 1^2 + 3 \cdot 1 + C;$
$2 = 1 + 3 + C;$
$2 = 4 + C, \text{ отсюда } C = -2;$
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x — 2$.

2) $f(x) = 4x — 1$;

Все первообразные функции:
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} — 1 \cdot \frac{x^1}{1} = 2x^2 — x + C;$

Проходящие через точку $M(-1; 3)$:
$3 = 2 \cdot (-1)^2 — (-1) + C;$
$3 = 2 \cdot 1 + 1 + C;$
$3 = 2 + 1 + C;$
$3 = 3 + C, \text{ отсюда } C = 0;$
Ответ: $F(x) = 2x^2 — x$.

3) $f(x) = \sin 2x$;

Все первообразные функции:
$F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C;$

Проходящие через точку $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$:
$5 = -\frac{1}{2} \cos \pi + C;$
$5 = -\frac{1}{2} \cdot (-1) + C;$
$5 = \frac{1}{2} + C;$
$5 = \frac{1}{2} + C, \text{ отсюда } C = \frac{9}{2};$
Ответ: $F(x) = \frac{9 — \cos 2x}{2}$.

4) $f(x) = \cos 3x$;

Все первообразные функции:
$F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + C;$

Проходящие через точку $M(0; 0)$:
$0 = \frac{1}{3} \sin 0 + C;$
$0 = \frac{1}{3} \cdot 0 + C, \text{ отсюда } C = 0;$
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x$.

1) Задача 1:

Дано:
$f(x) = 2x + 3$

Нужно найти первообразную $F(x)$, которая проходит через точку $M(1; 2)$.

Решение:

Нахождение общей первообразной:

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = 2x + 3$ используем стандартные правила интегрирования для степенных функций:

• Интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ для $n \neq -1$.
• Интеграл от константы равен $Cx$, где $C$ — константа.

Интегрируем $2x$:

$$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2.$$

Интегрируем $3$:

$$\int 3 \, dx = 3x.$$

Таким образом, общая первообразная будет:

$$F(x) = x^2 + 3x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Использование заданной точки для нахождения $C$:

Нам нужно найти значение константы $C$, если функция проходит через точку $M(1; 2)$. То есть, $F(1) = 2$.

Подставляем $x = 1$ в первообразную $F(x)$:

$$F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2.$$

Это уравнение становится:

$$1 + 3 + C = 2 \quad \Rightarrow \quad 4 + C = 2 \quad \Rightarrow \quad C = -2.$$

Таким образом, первообразная, проходящая через точку $M(1; 2)$, будет:

$$F(x) = x^2 + 3x — 2.$$

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x — 2$.

2) Задача 2:

Дано:
$f(x) = 4x — 1$

Нужно найти первообразную $F(x)$, которая проходит через точку $M(-1; 3)$.

Решение:

Нахождение общей первообразной:

Интегрируем $4x$:

$$\int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2.$$

Интегрируем $-1$:

$$\int -1 \, dx = -x.$$

Таким образом, общая первообразная будет:

$$F(x) = 2x^2 — x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Использование заданной точки для нахождения $C$:

Нам нужно найти значение константы $C$, если функция проходит через точку $M(-1; 3)$. То есть, $F(-1) = 3$.

Подставляем $x = -1$ в первообразную $F(x)$:

$$F(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — (-1) + C = 3.$$

Это уравнение становится:

$$2 \cdot 1 + 1 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad 2 + 1 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad 3 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad C = 0.$$

Таким образом, первообразная, проходящая через точку $M(-1; 3)$, будет:

$$F(x) = 2x^2 — x.$$

Ответ: $F(x) = 2x^2 — x$.

3) Задача 3:

Дано:
$f(x) = \sin 2x$

Нужно найти первообразную $F(x)$, которая проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$.

Решение:

Нахождение общей первообразной:

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$ используем стандартное правило для интегрирования синуса:

• Интеграл от $\sin(g(x))$ равен $-\cos(g(x)) \cdot g'(x)$, где $g(x)$ — внутренняя функция.

В данном случае, $g(x) = 2x$, и $g'(x) = 2$. Интегрируем:

$$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C.$$

Таким образом, общая первообразная будет:

$$F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C.$$

Использование заданной точки для нахождения $C$:

Нам нужно найти значение константы $C$, если функция проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$. То есть, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в первообразную $F(x)$:

$$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos \pi + C = 5.$$

Это уравнение становится:

$$-\frac{1}{2} \cdot (-1) + C = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} + C = 5 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{9}{2}.$$

Таким образом, первообразная, проходящая через точку $M\left(\frac{\pi}{2}; 5\right)$, будет:

$$F(x) = \frac{9 — \cos 2x}{2}.$$

Ответ: $F(x) = \frac{9 — \cos 2x}{2}$.

4) Задача 4:

Дано:
$f(x) = \cos 3x$

Нужно найти первообразную $F(x)$, которая проходит через точку $M(0; 0)$.

Решение:

Нахождение общей первообразной:

Для нахождения первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ используем стандартное правило для интегрирования косинуса:

• Интеграл от $\cos(g(x))$ равен $\frac{1}{g'(x)} \sin(g(x))$, где $g(x)$ — внутренняя функция.

В данном случае, $g(x) = 3x$, и $g'(x) = 3$. Интегрируем:

$$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C.$$

Таким образом, общая первообразная будет:

$$F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + C.$$

Использование заданной точки для нахождения $C$:

Нам нужно найти значение константы $C$, если функция проходит через точку $M(0; 0)$. То есть, $F(0) = 0$.

Подставляем $x = 0$ в первообразную $F(x)$:

$$F(0) = \frac{1}{3} \sin 0 + C = 0.$$

Это уравнение становится:

$$0 + C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 0.$$

Таким образом, первообразная, проходящая через точку $M(0; 0)$, будет:

$$F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x.$$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x$.