ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 991 Алимов — Подробные Ответы

Найти все первообразные функции:

1. sin(2x+3);
2. cos(3x+4);
3. cos(x/2 — 1);
4. sin(x/4 + 5);
5. e^((x+1)/2);
6. e^(3x-5);
7. 1/2x;
8. 1/(3x-1).

1. $f(x) = \sin(2x + 3)$;
   $F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 3) + C$;
2. $f(x) = \cos(3x + 4)$;
   $F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x + 4) + C$;
3. $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$;
   $F(x) = 1 : \frac{1}{2} \cdot \sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) = 2 \sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) + C$;
4. $f(x) = \sin\left(\frac{x}{4} + 5\right)$;
   $F(x) = 1 : \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{4} + 5\right) = -4 \cos\left(\frac{x}{4} + 5\right) + C$;
5. $f(x) = e^{\frac{x+1}{2}} = e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$;
   $F(x) = 1 : \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 2 e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} + C$;
6. $f(x) = e^{3x-5}$;
   $F(x) = \frac{1}{3} e^{3x-5} + C$;
7. $f(x) = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$;
   $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln x + C$;
8. $f(x) = \frac{1}{3x-1}$;
   $F(x) = \frac{1}{3} \ln(3x-1) + C$

Задача 1:

Дано:
$f(x) = \sin(2x + 3)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin(2x + 3)$ воспользуемся методом интегрирования сложной функции с использованием цепного правила.

Цепное правило гласит, что если $f(x) = \sin(g(x))$, то $\int f(x) \, dx = -\cos(g(x)) \cdot \frac{dg(x)}{dx}$, где $g(x)$ — это внутренняя функция.

В данной задаче $g(x) = 2x + 3$, и производная $g'(x) = 2$.

Интегрируем $f(x) = \sin(2x + 3)$:

$$\int \sin(2x + 3) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x + 3) + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 3) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 3) + C$.

Задача 2:

Дано:
$f(x) = \cos(3x + 4)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

В данном случае $g(x) = 3x + 4$, и производная $g'(x) = 3$.

Интегрируем $f(x) = \cos(3x + 4)$ с использованием цепного правила:

$$\int \cos(3x + 4) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x + 4) + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x + 4) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x + 4) + C$.

Задача 3:

Дано:
$f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

В данном случае $g(x) = \frac{x}{2} — 1$, и производная $g'(x) = \frac{1}{2}$.

Интегрируем $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$:

$$\int \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right) \, dx = 2 \sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) + C$.

Задача 4:

Дано:
$f(x) = \sin\left(\frac{x}{4} + 5\right)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

В данном случае $g(x) = \frac{x}{4} + 5$, и производная $g'(x) = \frac{1}{4}$.

Интегрируем $f(x) = \sin\left(\frac{x}{4} + 5\right)$:

$$\int \sin\left(\frac{x}{4} + 5\right) \, dx = -4 \cos\left(\frac{x}{4} + 5\right) + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = -4 \cos\left(\frac{x}{4} + 5\right) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = -4 \cos\left(\frac{x}{4} + 5\right) + C$.

Задача 5:

Дано:
$f(x) = e^{\frac{x+1}{2}} = e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $f(x) = e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ с использованием стандартного правила интегрирования для экспоненциальной функции:

$$\int e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} \, dx = 2 e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 2 e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2 e^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} + C$.

Задача 6:

Дано:
$f(x) = e^{3x-5}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $f(x) = e^{3x — 5}$, используя стандартное правило для экспоненциальной функции. Производная экспоненты по $x$ равна её самой, а производная от $3x — 5$ равна 3:

$$\int e^{3x — 5} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x — 5} + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{1}{3} e^{3x — 5} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} e^{3x — 5} + C$.

Задача 7:

Дано:
$f(x) = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ с использованием стандартного интеграла:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{1}{2} \ln |x| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \ln |x| + C$.

Задача 8:

Дано:
$f(x) = \frac{1}{3x — 1}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $f(x) = \frac{1}{3x — 1}$ с использованием стандартного интеграла для дроби вида $\frac{1}{ax + b}$:

$$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b|.$$

В данном случае $a = 3$, и производная от $3x — 1$ равна 3.

Интегрируем $f(x)$:

$$\int \frac{1}{3x — 1} \, dx = \frac{1}{3} \ln |3x — 1| + C.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{1}{3} \ln |3x — 1| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \ln |3x — 1| + C$.