ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 986 Алимов — Подробные Ответы

Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М:

1. f(x) = x, М (-1; 3);
2. f(x) = корень x, М (9; 10).

1) $f'(x) = x$;

Все первообразные функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = \frac{1}{2} \cdot (x^2)’ + (C)’ = \left( \frac{x^2}{2} + C \right)’;$$

Проходящая через точку $M(-1; 3)$:

$$3 = \frac{(-1)^2}{2} + C;$$ $$C = 3 — \frac{1}{2} = \frac{6}{2} — \frac{1}{2} = \frac{5}{2};$$

Ответ: $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2}$.

2) $f'(x) = \sqrt{x}$;

Все первообразные функции:

$$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 = \frac{2}{3} \cdot \left( x^{\frac{3}{2}} \right)’ + (C)’ = \left( \frac{2x \sqrt{x}}{3} + C \right)’;$$

Проходящая через точку $M(9; 10)$:

$$10 = \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3} + C;$$ $$C = 10 — \frac{18 \cdot 3}{3} = 10 — 18 = -8;$$

Ответ: $f(x) = \frac{2x \sqrt{x}}{3} — 8$.

1) $f'(x) = x$

Нам нужно найти первообразную для функции $f'(x) = x$, то есть найти такую функцию $f(x)$, производная которой будет равна $x$.

Шаг 1: Интегрирование

Задача заключается в нахождении первообразной для функции $f'(x) = x$. Для этого мы используем правило интегрирования для степени. Формула для интегрирования $x^n$ имеет вид:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где $n \neq -1$, а $C$ — это константа интегрирования.

В нашем случае $f'(x) = x$, то есть $x^1$. Применяем формулу интегрирования для степени $1$:

$$f(x) = \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$$

То есть, первообразная для функции $f'(x) = x$ будет $f(x) = \frac{x^2}{2} + C$.

Шаг 2: Использование начальных условий

Теперь мы используем условие, что функция $f(x)$ должна проходить через точку $M(-1; 3)$. Это значит, что при $x = -1$, значение функции $f(x)$ должно быть равно 3:

$$f(-1) = 3$$

Подставляем $x = -1$ в полученную форму $f(x) = \frac{x^2}{2} + C$:

$$3 = \frac{(-1)^2}{2} + C$$

Вычисляем $(-1)^2 = 1$, следовательно:

$$3 = \frac{1}{2} + C$$

Теперь находим $C$:

$$C = 3 — \frac{1}{2} = \frac{6}{2} — \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

Шаг 3: Итоговый ответ

Таким образом, функция $f(x)$ будет равна:

$$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}$$

Ответ: $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2}$.

2) $f'(x) = \sqrt{x}$

Теперь нам нужно найти первообразную для функции $f'(x) = \sqrt{x}$. Вспоминаем, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, и используем ту же формулу для интегрирования, как и в предыдущем примере.

Шаг 1: Интегрирование

Нам нужно найти первообразную для функции $f'(x) = x^{\frac{1}{2}}$. Применяем формулу для интегрирования степени $x^n$:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Здесь $n = \frac{1}{2}$, подставляем в формулу:

$$f(x) = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$

Таким образом, первообразная для $f'(x) = \sqrt{x}$ будет:

$$f(x) = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$

Шаг 2: Использование начальных условий

Теперь используем начальное условие, что функция $f(x)$ проходит через точку $M(9; 10)$. Это значит, что при $x = 9$, значение функции $f(x)$ равно 10:

$$f(9) = 10$$

Подставляем $x = 9$ в полученную форму $f(x) = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$:

$$10 = \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$

Для вычисления $9^{\frac{3}{2}}$, сначала извлекаем квадратный корень из 9, получаем $\sqrt{9} = 3$. Тогда:

$$9^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$$

Теперь подставляем это значение в уравнение:

$$10 = \frac{2 \cdot 27}{3} + C$$

Вычисляем:

$$10 = \frac{54}{3} + C = 18 + C$$

Теперь находим $C$:

$$C = 10 — 18 = -8$$

Шаг 3: Итоговый ответ

Таким образом, функция $f(x)$ будет равна:

$$f(x) = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} — 8$$

Ответ: $f(x) = \frac{2x \sqrt{x}}{3} — 8$.