ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 985 Алимов — Подробные Ответы

Найти все первообразные функции:

1. х4;
2. х3;
3. х^-3;
4. х^-1/2.

1. $f'(x) = x^4 = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + 0 = \frac{1}{5} \cdot (x^5)’ + (C)’ = \left( \frac{x^5}{5} + C \right)’$;
   Ответ: $f(x) = \frac{x^5}{5} + C$.
2. $f'(x) = x^3 = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 0 = \frac{1}{4} \cdot (x^4)’ + (C)’ = \left( \frac{x^4}{4} + C \right)’$;
   Ответ: $f(x) = \frac{x^4}{4} + C$.
3. $f'(x) = x^{-3} = -\frac{1}{2} \cdot (-2x^{-3}) + 0 = -\frac{1}{2} \cdot (x^{-2})’ + (C)’ = \left( -\frac{1}{2x^2} + C \right)’$;
   Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.
4. $f'(x) = x^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 0 = 2 \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} \right)’ + (C)’ = \left( 2\sqrt{x} + C \right)’$;
   Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} + C$.

1) $f'(x) = x^4$

Шаг 1: Нам нужно найти первообразную для функции $f'(x) = x^4$.

Мы знаем, что производная степени $x^n$ по правилу дифференцирования равна $nx^{n-1}$, то есть:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Таким образом, если у нас есть производная $f'(x) = x^4$, то нам нужно найти функцию, производная которой будет равна $x^4$.

Шаг 2: Вспомним, что интегрирование — это обратная операция к дифференцированию. Если $f'(x) = x^4$, то мы ищем такую функцию $f(x)$, производная которой будет равна $x^4$.

Для этого применяем формулу интегрирования:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где $C$ — константа интегрирования.

В нашем случае $n = 4$, поэтому:

$$\int x^4 \, dx = \frac{x^{5}}{5} + C$$

Ответ: $f(x) = \frac{x^5}{5} + C$.

2) $f'(x) = x^3$

Шаг 1: Опять же, нам нужно найти первообразную функции $f'(x) = x^3$.

Мы используем тот же подход, что и в первом примере: интегрируем $x^3$.

Шаг 2: По той же формуле интегрирования:

$$\int x^3 \, dx = \frac{x^{4}}{4} + C$$

Ответ: $f(x) = \frac{x^4}{4} + C$.

3) $f'(x) = x^{-3}$

Шаг 1: Теперь рассмотрим функцию $f'(x) = x^{-3}$. Мы должны найти первообразную для функции с отрицательным показателем степени.

Как и в предыдущих примерах, применим формулу интегрирования:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где $n = -3$.

Шаг 2: Интегрируем $x^{-3}$:

$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.

4) $f'(x) = x^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Для функции $f'(x) = x^{\frac{1}{2}}$, где показатель степени является дробным, также используем формулу интегрирования.

Вспоминаем, что интегрирование степени дробного показателя выполняется по той же формуле, что и для целых показателей:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Здесь $n = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Интегрируем $x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$

Ответ: $f(x) = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$.

Детализация решения каждого шага:

1. Применение формулы для интегрирования: Каждое решение использует стандартную формулу для нахождения первообразной функции $f(x) = \int x^n \, dx$, которая в случае степени $n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — константа интегрирования.
2. Особенности с отрицательными и дробными степенями: Даже если показатель степени $n$ отрицательный или дробный, формула интегрирования остается прежней. Важно аккуратно работать с отрицательными и дробными показателями при расчете степени.
3. Константа интегрирования: Каждый результат интегрирования всегда включает константу $C$, так как интегрирование функции даёт общее решение, которое может отличаться на произвольную постоянную.