ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 984 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) при х > 0:

1. F(x) = 1, f(x) = -2/x2;
2. F(x)= 1+ корень x, f(х) = 1/2корень x.

$F(x) = \frac{2}{x}$ и $f(x) = -\frac{2}{x^2}$;

$F'(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{2}{x^2} = f(x);$

$F(x) = 1 + \sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$F'(x) = (1)’ + (\sqrt{x})’ = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = f(x);$

Пример 1: $F(x) = \frac{2}{x}$ и $f(x) = -\frac{2}{x^2}$

Цель: Показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Шаг 1: Приведение функции $F(x)$ к удобному виду

Нам дана функция $F(x) = \frac{2}{x}$. Мы можем переписать её в виде:

$$F(x) = 2 \cdot x^{-1}$$

Теперь функция $F(x)$ представлена как произведение константы $2$ и $x^{-1}$, что делает её более удобной для дифференцирования.

Шаг 2: Дифференцирование функции $F(x)$

Чтобы найти производную функции $F(x)$, применим правило дифференцирования для степенной функции. Для функции вида $x^n$, где $n$ — константа, производная будет:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$

В нашем случае $n = -1$, и тогда производная от $x^{-1}$ будет:

$$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2}$$

Теперь применим это к нашей функции $F(x)$, не забывая умножить на константу $2$:

$$F'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^{-1}) = 2 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}$$

Шаг 3: Сравнение с функцией $f(x)$

Теперь сравним результат с заданной функцией $f(x) = -\frac{2}{x^2}$. Мы видим, что:

$$F'(x) = -\frac{2}{x^2} = f(x)$$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $F(x)$ действительно равна функции $f(x)$.

Пример 2: $F(x) = 1 + \sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Цель: Показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Шаг 1: Приведение функции $F(x)$ к удобному виду

Нам дана функция $F(x) = 1 + \sqrt{x}$. Разделим её на два слагаемых:

$$F(x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$$

Теперь функция представлена как сумма константы $1$ и степени $x^{\frac{1}{2}}$.

Шаг 2: Дифференцирование функции $F(x)$

Для нахождения производной функции $F(x)$ применим правило дифференцирования для суммы. Производная от суммы равна сумме производных:

$$F'(x) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}})$$

Дифференцирование первого слагаемого $1$

Производная от константы $1$ равна нулю:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Дифференцирование второго слагаемого $x^{\frac{1}{2}}$

Теперь применим правило дифференцирования для степенной функции. Для функции вида $x^n$ производная будет:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$

В нашем случае $n = \frac{1}{2}$, и тогда производная от $x^{\frac{1}{2}}$ будет:

$$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3: Сложение производных

Теперь складываем результаты:

$$F'(x) = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4: Сравнение с функцией $f(x)$

Сравниваем результат с заданной функцией $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Мы видим, что:

$$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = f(x)$$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.