ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 983 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что функция F (х) является первообразной функции F (х) на всей числовой прямой:

1. F (х) = x6/6, f(х) = х5;
2. F(x) = x5/5 + 1, f (х) = х4.

$F(x) = \frac{x^6}{6}$ и $f(x) = x^5$;

$F'(x) = \frac{1}{6} \cdot (x^6)’ = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = x^5 = f(x);$

$F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$ и $f(x) = x^4$;

$F'(x) = \frac{1}{5} \cdot (x^5)’ + (1)’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + 0 = x^4 = f(x);$

Пример 1: $F(x) = \frac{x^6}{6}$ и $f(x) = x^5$

Цель: Показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Шаг 1: Приведение функции $F(x)$ к удобному виду

Нам дана функция $F(x) = \frac{x^6}{6}$. Мы можем записать ее как:

$$F(x) = \frac{1}{6} \cdot x^6$$

Это просто представление функции в более удобном виде для дифференцирования. Теперь функция $F(x)$ представлена как произведение константы $\frac{1}{6}$ и $x^6$.

Шаг 2: Дифференцирование функции $F(x)$

Чтобы найти производную функции $F(x)$, применим правило дифференцирования степенной функции. Правило гласит, что производная функции вида $x^n$ (где $n$ — константа) равна $n \cdot x^{n-1}$. В нашем случае $n = 6$, поэтому производная от $x^6$ будет:

$$\frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5$$

Так как в $F(x)$ перед $x^6$ стоит константа $\frac{1}{6}$, то при дифференцировании эту константу нужно оставить:

$$F'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{dx}(x^6) = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = x^5$$

Шаг 3: Сравнение с функцией $f(x)$

Теперь сравним результат с заданной функцией $f(x) = x^5$. Мы видим, что:

$$F'(x) = x^5 = f(x)$$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $F(x)$ действительно равна функции $f(x)$.

Пример 2: $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$ и $f(x) = x^4$

Цель: Показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Шаг 1: Приведение функции $F(x)$ к удобному виду

Нам дана функция $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$. Разделим на два слагаемых:

$$F(x) = \frac{1}{5} \cdot x^5 + 1$$

Теперь мы видим, что функция состоит из двух частей: $\frac{1}{5} \cdot x^5$ и $1$.

Шаг 2: Дифференцирование функции $F(x)$

Для нахождения производной функции $F(x)$ применим правило дифференцирования для суммы. Производная от суммы равна сумме производных, то есть:

$$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{5} \cdot x^5 \right) + \frac{d}{dx}(1)$$

Дифференцирование первого слагаемого $\frac{1}{5} \cdot x^5$

Для дифференцирования $\frac{1}{5} \cdot x^5$ используем то же правило, что и в предыдущем примере. Производная от $x^5$ — это $5x^4$, и не забываем умножить на коэффициент $\frac{1}{5}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{5} \cdot x^5 \right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$$

Дифференцирование второго слагаемого $1$

Производная от константы равна нулю:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Шаг 3: Сложение производных

Теперь складываем результаты:

$$F'(x) = x^4 + 0 = x^4$$

Шаг 4: Сравнение с функцией $f(x)$

Сравниваем результат с заданной функцией $f(x) = x^4$. Мы видим, что:

$$F'(x) = x^4 = f(x)$$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.