ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 982 Алимов — Подробные Ответы

Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k.

Пусть $a$ — величина искомого угла и $F$ — приложенная сила;

Проекция приложенной силы на оси движения:
$F_x = F \cdot \cos a \quad \text{и} \quad F_y = F \cdot \sin a;$

Сила $F$ направлена вверх, значит сила, действующая на груз по оси $y$, уменьшается на величину $F \cdot \sin a$, то есть сила трения составит:
$F_{\text{тр}} = k \cdot (mg — F \cdot \sin a);$

Согласно второму закону Ньютона:
$F_x = F_{\text{тр}};$
$F \cdot \cos a = kmg — kF \cdot \sin a;$
$F \cdot (\cos a + k \cdot \sin a) = kmg;$
$F = \frac{kmg}{\cos a + k \cdot \sin a};$

Производная функции:
Пусть $u = \cos a + k \cdot \sin a$, тогда $F(u) = \frac{kmg}{u}$;
$F'(a) = (\cos a + k \cdot \sin a)’ \cdot \left( \frac{kmg}{u} \right);$
$F'(a) = (-\sin a + k \cdot \cos a) \cdot \left( -\frac{kmg}{u^2} \right);$
$F'(a) = \frac{k \cdot \cos a — \sin a}{(\cos a + k \cdot \sin a)^2} \cdot (-kmg);$

Точки экстремума:
$k \cdot \cos a — \sin a = 0 \quad | : \cos a;$
$k — \operatorname{tg} a = 0;$
$\operatorname{tg} a = k;$
$a = \operatorname{arctg} k + \pi n;$

Ответ: $a = \operatorname{arctg} k$.

$$a = \arctg(k)$$

Для решения задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов и максимально подробно рассмотрим каждый из них.

Задано:

• Груз лежит на горизонтальной плоскости.
• К грузу приложена сила $F$, которая создает угол $a$ с горизонтом.
• Коэффициент трения между грузом и плоскостью равен $k$.

Хорошо, теперь заменим все обозначения $\tan$ на $\tg$ в решении. Вот полное исправленное решение:

Шаг 1: Проекции силы на оси движения

Сила $F$ имеет компоненты вдоль оси $x$ и оси $y$, которые можно выразить через угол $a$, который образует сила с горизонтальной плоскостью.

• Проекция силы на ось $x$ (горизонтальную ось):

  $$F_x = F \cdot \cos a$$

• Проекция силы на ось $y$ (вертикальную ось):

  $$F_y = F \cdot \sin a$$

Шаг 2: Сила трения

Сила трения $F_{tr}$ определяется как:

$$F_{tr} = k \cdot N$$

где $N$ — нормальная сила, то есть сила, которая действует перпендикулярно поверхности.

С учетом того, что сила $F$ приложена под углом $a$, нормальная сила будет уменьшена на проекцию силы $F$ вдоль вертикальной оси, то есть:

$$N = mg — F \cdot \sin a$$

где $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения.

Таким образом, сила трения будет:

$$F_{tr} = k \cdot (mg — F \cdot \sin a)$$

Шаг 3: Уравнение движения по второму закону Ньютона

По второму закону Ньютона, сила в горизонтальном направлении, которая сдвигает груз, равна проекции силы $F$ на ось $x$, то есть:

$$F_x = F \cdot \cos a$$

Кроме того, сила, которая препятствует движению, — это сила трения:

$$F_{tr} = k \cdot (mg — F \cdot \sin a)$$

Теперь уравнение движения груза в горизонтальном направлении можно записать как:

$$F \cdot \cos a = k \cdot (mg — F \cdot \sin a)$$

Шаг 4: Решение уравнения для $F$

Перепишем уравнение:

$$F \cdot \cos a + k \cdot F \cdot \sin a = k \cdot mg$$ $$F \cdot (\cos a + k \cdot \sin a) = k \cdot mg$$

Отсюда находим силу:

$$F = \frac{k \cdot mg}{\cos a + k \cdot \sin a}$$

Шаг 5: Минимизация силы

Для нахождения угла $a$, при котором сила $F$ будет минимальной, необходимо найти производную функции силы по углу $a$ и приравнять ее к нулю.

Определим производную функции силы $F$:

$$F(a) = \frac{k \cdot mg}{\cos a + k \cdot \sin a}$$

Используем правило дифференцирования дроби:

$$F'(a) = \frac{0 \cdot (\cos a + k \cdot \sin a) — k \cdot mg \cdot (\frac{d}{da} (\cos a + k \cdot \sin a))}{(\cos a + k \cdot \sin a)^2}$$

Теперь находим производную $\frac{d}{da} (\cos a + k \cdot \sin a)$:

$$\frac{d}{da} (\cos a + k \cdot \sin a) = -\sin a + k \cdot \cos a$$

Тогда:

$$F'(a) = \frac{- k \cdot mg \cdot (-\sin a + k \cdot \cos a)}{(\cos a + k \cdot \sin a)^2}$$

Приравниваем производную к нулю для нахождения экстремума:

$$-\sin a + k \cdot \cos a = 0$$ $$k \cdot \cos a = \sin a$$ $$\tg a = k$$

Шаг 6: Определение угла $a$

Теперь можем найти угол $a$:

$$a = \arctg(k)$$

Ответ:

Угол, при котором сила будет минимальной, равен:

$$a = \arctg(k)$$