ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 978 Алимов — Подробные Ответы

Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Пусть $a$ и $h$ — длины сторон осевого сечения цилиндра, тогда:

$$R = \frac{a}{2} \quad \text{и} \quad p = 2a + 2h, \quad \text{отсюда} \quad h = \frac{p}{2} — a;$$ $$V(a) = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi R^2 \cdot h = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right) = \frac{\pi a^2}{4} \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right);$$

Производная функции:

$$V'(a) = \left( \frac{\pi a^2}{4} \right)’ \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right) + \frac{\pi a^2}{4} \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right)’;$$ $$V'(a) = \frac{\pi}{4} \cdot 2a \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right) + \frac{\pi a^2}{4} \cdot (-1);$$ $$V'(a) = \frac{\pi a p — 2\pi a^2 — \pi a^2}{4};$$ $$V'(a) = \pi \cdot \frac{ap — 3a^2}{4};$$

Промежуток возрастания:

$$ap — 3a^2 > 0;$$ $$a \cdot (p — 3a) > 0;$$ $$a \cdot (3a — p) < 0;$$ $$0 < a < \frac{p}{3};$$

Искомые значения:

$$a = \frac{p}{3} \quad \text{— точка максимума; }$$ $$V\left( \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{p^2}{9} \cdot \left( \frac{p}{2} — \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi p^3}{216}}.$$

1. Основные данные задачи

У нас есть цилиндр с осевым сечением прямоугольного треугольника. Даны следующие параметры:

• $R = \frac{a}{2}$ — радиус основания цилиндра;
• $p = 2a + 2h$, где $h$ — высота цилиндра.

Периметр осевого сечения цилиндра равен $p$, что означает, что его стороны составляют:

• одну сторону $a$,
• две стороны $h$,
• гипотенузу.

Из условия задачи, $h$ можно выразить через $a$ и $p$ как $h = \frac{p}{2} — a$.

2. Объем цилиндра

Объем цилиндра можно выразить через площадь его основания и высоту:

$$V(a) = S_{\text{осн}} \cdot h$$

Площадь основания цилиндра — это круг с радиусом $R = \frac{a}{2}$. Площадь круга:

$$S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Теперь, зная площадь основания и выражение для высоты $h$, можем записать объем цилиндра:

$$V(a) = \frac{\pi a^2}{4} \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right)$$

Таким образом, объем цилиндра в зависимости от $a$ будет:

$$V(a) = \frac{\pi a^2}{4} \left( \frac{p}{2} — a \right)$$

3. Нахождение производной

Чтобы найти максимальный объем, нужно взять производную объема по переменной $a$ и приравнять ее к нулю. Выполним дифференцирование:

$$V'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{\pi a^2}{4} \left( \frac{p}{2} — a \right) \right)$$

Используем правило произведения для дифференцирования:

$$V'(a) = \frac{\pi a^2}{4} \cdot \frac{d}{da} \left( \frac{p}{2} — a \right) + \left( \frac{p}{2} — a \right) \cdot \frac{d}{da} \left( \frac{\pi a^2}{4} \right)$$ $$V'(a) = \frac{\pi a^2}{4} \cdot (-1) + \left( \frac{p}{2} — a \right) \cdot \frac{\pi \cdot 2a}{4}$$

Упростим:

$$V'(a) = -\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a \cdot \left( \frac{p}{2} — a \right)}{2}$$

Теперь приведем выражение к общему виду:

$$V'(a) = -\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a}{2} \left( \frac{p}{2} — a \right)$$ $$V'(a) = -\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a p}{4} — \frac{\pi a^2}{2}$$

Объединим подобные слагаемые:

$$V'(a) = -\frac{3\pi a^2}{4} + \frac{\pi a p}{4}$$

Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критической точки:

$$-\frac{3\pi a^2}{4} + \frac{\pi a p}{4} = 0$$

Умножим на 4 и разделим на $\pi$:

$$-3a^2 + a p = 0$$

Вынесем $a$ за скобки:

$$a(-3a + p) = 0$$

Таким образом, у нас два возможных решения:

$$a = 0 \quad \text{или} \quad a = \frac{p}{3}$$

Поскольку $a = 0$ не имеет физического смысла, то оставляем:

$$a = \frac{p}{3}$$

4. Нахождение объема

Теперь, подставим значение $a = \frac{p}{3}$ в формулу для объема:

$$V\left( \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi \left( \frac{p}{3} \right)^2}{4} \left( \frac{p}{2} — \frac{p}{3} \right)$$

Вычислим:

$$V\left( \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi \cdot \frac{p^2}{9}}{4} \cdot \left( \frac{3p}{6} — \frac{2p}{6} \right)$$ $$V\left( \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi p^2}{36} \cdot \frac{p}{6}$$ $$V\left( \frac{p}{3} \right) = \frac{\pi p^3}{216}$$

Ответ:

Объем цилиндра с максимальным объемом при данном периметре осевого сечения равен:

$$V = \frac{\pi p^3}{216}$$