ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 977 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов основания пирамиды, тогда:

$$b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{4^2 — a^2} = \sqrt{16 — a^2};$$ $$V(a) = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab \cdot 12 = 2a \cdot \sqrt{16 — a^2};$$

Производная функции:

$$V'(a) = (2a)’ \cdot \sqrt{16 — a^2} + 2a \cdot (16 — a^2)^{\frac{1}{2}};$$ $$V'(a) = 2 \cdot \sqrt{16 — a^2} + 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot (-2a) \cdot (16 — a^2)^{-\frac{1}{2}};$$ $$V'(a) = 2 \cdot \sqrt{16 — a^2} — \frac{2a^2}{\sqrt{16 — a^2}};$$ $$V'(a) = 2 \cdot \frac{16 — a^2 — a^2}{\sqrt{16 — a^2}};$$ $$V'(a) = 2 \cdot \frac{16 — 2a^2}{\sqrt{16 — a^2}};$$

Промежуток возрастания:

$$16 — 2a^2 > 0;$$ $$2a^2 < 16;$$ $$a^2 < 8;$$ $$-\sqrt{8} < a < \sqrt{8};$$

Искомые значения:

$$a = \sqrt{8} \quad \text{— точка максимума};$$ $$V(\sqrt{8}) = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{16 — 8} = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} = 2 \cdot 8 = 16;$$

Ответ: 16.

1. Обозначения и выражение для объема пирамиды

Пусть $a$ и $b$ — это катеты основания пирамиды, где:

• $a$ — длина одного катета,
• $b$ — длина другого катета.

Высота пирамиды, согласно условию, составляет $h = 12$.

Так как основание — прямоугольный треугольник, то площадь основания $S_{\text{осн}}$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab.$$

Теперь, используя формулу для объема пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h,$$

подставляем выражение для площади основания:

$$V(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab \cdot 12 = 2a \cdot \sqrt{16 — a^2}.$$

Здесь $b$ выражено как $b = \sqrt{16 — a^2}$, так как основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой длины $4$.

2. Найдем производную объема по $a$

Теперь, чтобы найти, при каком значении $a$ объем пирамиды максимален, найдем производную функции объема $V(a)$. Мы будем использовать правило дифференцирования произведения.

Объем пирамиды:

$$V(a) = 2a \cdot \sqrt{16 — a^2}.$$

Используем правило дифференцирования произведения:

$$V'(a) = \left( 2a \right)’ \cdot \sqrt{16 — a^2} + 2a \cdot \left( \sqrt{16 — a^2} \right)’.$$

Производная от $2a$ — это просто $2$, и производная от $\sqrt{16 — a^2}$ можно найти через цепное правило:

$$\left( \sqrt{16 — a^2} \right)’ = \frac{-2a}{2\sqrt{16 — a^2}} = \frac{-a}{\sqrt{16 — a^2}}.$$

Подставим эти выражения в формулу для производной:

$$V'(a) = 2 \cdot \sqrt{16 — a^2} + 2a \cdot \frac{-a}{\sqrt{16 — a^2}}.$$

Упростим:

$$V'(a) = 2 \cdot \sqrt{16 — a^2} — \frac{2a^2}{\sqrt{16 — a^2}}.$$

3. Приведем к общему знаменателю

Теперь приведем два слагаемых к общему знаменателю:

$$V'(a) = 2 \cdot \frac{16 — a^2}{\sqrt{16 — a^2}}.$$

4. Условия экстремума

Чтобы найти точку максимума, приравняем производную к нулю:

$$V'(a) = 0 \quad \Rightarrow \quad 16 — a^2 — a^2 = 0.$$

Упростим:

$$16 — 2a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{8}.$$

5. Определим интервал возрастания и убывания

Для этого рассмотрим знак производной в интервалах. Производная функции объема:

$$V'(a) = 2 \cdot \frac{16 — 2a^2}{\sqrt{16 — a^2}}.$$

Чтобы производная была положительной, числитель $16 — 2a^2$ должен быть положительным:

$$16 — 2a^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 < 16 \quad \Rightarrow \quad a^2 < 8 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{8} < a < \sqrt{8}.$$

Так как $a$ — длина, то $a$ должно быть положительным, поэтому:

$$0 < a < \sqrt{8}.$$

Таким образом, функция объема возрастает на интервале $0 < a < \sqrt{8}$ и убывает для $a > \sqrt{8}$.

6. Подставляем $a = \sqrt{8}$ в выражение для объема

Теперь найдем максимальный объем, подставив $a = \sqrt{8}$ в выражение для объема:

$$V(\sqrt{8}) = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{16 — 8} = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} = 2 \cdot 8 = 16.$$

7. Ответ

Максимальный объем пирамиды равен $16$.

Ответ: 16.