ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 975 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки перегиба функции:

1. f(х) = 6х2 — х3;
2. f (х) = 3х2 + 4х3.

1) $f(x) = 6x^2 — x^3$;

Первая производная:
$f'(x) = 6 \cdot (x^2)’ — (x^3)’ = 6 \cdot 2x — 3x^2 = 12x — 3x^2;$

Вторая производная:
$f»(x) = (12x)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 12 — 3 \cdot 2x = 12 — 6x;$

Точки перегиба:
$12 — 6x = 0;$
$2 — x = 0, \text{отсюда } x = 2;$

Ответ: $x = 2$.

2) $f(x) = 3x^2 + 4x^3$;

Первая производная:
$f'(x) = 3 \cdot (x^2)’ + 4 \cdot (x^3)’ = 3 \cdot 2x + 4 \cdot 3x^2 = 6x + 12x^2;$

Вторая производная:
$f»(x) = (6x)’ + 12 \cdot (x^2)’ = 6 + 12 \cdot 2x = 6 + 24x;$

Точки перегиба:
$6 + 24x = 0;$
$1 + 4x = 0, \text{отсюда } x = -0.25;$

Ответ: $x = -0.25$.

Нам нужно найти точки перегиба для данных функций. Для этого будем вычислять первые и вторые производные функций, искать критические точки второй производной, и затем определять точки перегиба.

1. Функция $f(x) = 6x^2 — x^3$

Шаг 1. Первая производная $f'(x)$

Для вычисления первой производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^2$ равна $2x$.
• Производная от $x^3$ равна $3x^2$.

Таким образом, первая производная функции будет:

$$f'(x) = 6 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(x^3) = 6 \cdot 2x — 3x^2 = 12x — 3x^2.$$

Шаг 2. Вторая производная $f»(x)$

Для нахождения второй производной снова применим правила дифференцирования:

• Производная от $12x$ равна $12$.
• Производная от $3x^2$ равна $6x$.

Таким образом, вторая производная будет:

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(12x) — \frac{d}{dx}(3x^2) = 12 — 6x.$$

Шаг 3. Нахождение точки перегиба

Точка перегиба — это точка, в которой вторая производная равна нулю, и знак второй производной меняется. Для нахождения такой точки приравняем вторую производную к нулю:

$$f»(x) = 12 — 6x = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$12 = 6x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{12}{6} = 2.$$

Шаг 4. Проверка точки перегиба

Чтобы убедиться, что это точка перегиба, проверим знак второй производной на интервалах:

• Для $x < 2$, например $x = 0$, $f»(0) = 12 — 6(0) = 12 > 0$.
• Для $x > 2$, например $x = 3$, $f»(3) = 12 — 6(3) = 12 — 18 = -6 < 0$.

Поскольку вторая производная меняет знак с положительного на отрицательный, точка $x = 2$ — это точка перегиба.

Ответ: точка перегиба находится в $x = 2$.

2. Функция $f(x) = 3x^2 + 4x^3$

Шаг 1. Первая производная $f'(x)$

Для нахождения первой производной используем те же правила дифференцирования:

• Производная от $3x^2$ равна $6x$.
• Производная от $4x^3$ равна $12x^2$.

Таким образом, первая производная будет:

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 6x + 12x^2.$$

Шаг 2. Вторая производная $f»(x)$

Для нахождения второй производной снова применим правила дифференцирования:

• Производная от $6x$ равна $6$.
• Производная от $12x^2$ равна $24x$.

Таким образом, вторая производная будет:

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(12x^2) = 6 + 24x.$$

Шаг 3. Нахождение точки перегиба

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точку перегиба:

$$f»(x) = 6 + 24x = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$24x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}.$$

Шаг 4. Проверка точки перегиба

Чтобы проверить, является ли точка $x = -\frac{1}{4}$ точкой перегиба, рассмотрим знак второй производной на интервалах:

• Для $x < -\frac{1}{4}$, например $x = -1$, $f»(-1) = 6 + 24(-1) = 6 — 24 = -18 < 0$.
• Для $x > -\frac{1}{4}$, например $x = 0$, $f»(0) = 6 + 24(0) = 6 > 0$.

Поскольку вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный, точка $x = -\frac{1}{4}$ — это точка перегиба.

Ответ: точка перегиба находится в $x = -\frac{1}{4}$.