ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 972 Алимов — Подробные Ответы

Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна l, найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы, тогда:
$l = c + a, \text{ отсюда } c = l — a;$
$b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{(l — a)^2 — a^2} = \sqrt{l^2 — 2la + a^2 — a^2} = \sqrt{l^2 — 2la};$
$S(a) = \frac{1}{2} \cdot ab = \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{l^2 — 2la};$

Производная функции:
$S'(a) = \left( \frac{1}{2} a \right) \cdot \sqrt{l^2 — 2la} + \frac{1}{2} a \cdot (l^2 — 2la)^{\frac{1}{2}};$
$S'(a) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 — 2la} + \frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} \cdot (-2l) \cdot (l^2 — 2la)^{-\frac{1}{2}};$
$S'(a) = \frac{\sqrt{l^2 — 2la}}{2} — \frac{la}{2 \sqrt{l^2 — la}};$
$S'(a) = \frac{l^2 — 2la — la}{4 \sqrt{l^2 — la}} = l \cdot \frac{l — 3a}{4 \sqrt{l^2 — la}};$

Промежуток возрастания:
$l — 3a > 0;$
$3a < l, \text{ отсюда } a < \frac{l}{3};$

Искомые значения:
$a = \frac{l}{3} \text{ — точка максимума; }$
$c = l — \frac{l}{3} = \frac{2l}{3};$
$b = \sqrt{l^2 — \frac{2l^2}{3}} = \sqrt{l^2 \cdot \left( 1 — \frac{2}{3} \right)} = l \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}};$

Ответ: катеты $\frac{l}{3}$ и $\frac{l}{\sqrt{3}}$, гипотенуза $\frac{2l}{3}$.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, при этом $l$ — сумма длин катетов: $l = a + c$. Необходимо найти значения катетов, при которых площадь треугольника максимальна, и вычислить соответствующие размеры катетов и гипотенузы.

1. Выражение для площади

Площадь прямоугольного треугольника $S$ через катеты $a$ и $b$ выражается как:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Однако, нам нужно выразить площадь только через $a$, поскольку нам дана связь между катетами через гипотенузу и сумму катетов $l = a + c$. Сначала выразим $b$ через $a$ и $l$.

2. Выражение для $b$ через $a$ и $l$

Поскольку $a$, $b$, и $c$ — стороны прямоугольного треугольника, выполняется теорема Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Из условия задачи известно, что $c = l — a$. Подставим это выражение в формулу Пифагора:

$$a^2 + b^2 = (l — a)^2$$

Теперь выразим $b^2$:

$$b^2 = (l — a)^2 — a^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$b^2 = l^2 — 2la + a^2 — a^2 = l^2 — 2la$$

Таким образом:

$$b = \sqrt{l^2 — 2la}$$

Теперь мы можем выразить площадь через только $a$:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{l^2 — 2la}$$

3. Нахождение производной площади

Для нахождения максимума функции площади $S(a)$, нужно найти её производную $S'(a)$. Используем правило дифференцирования произведения и цепное правило.

$$S'(a) = \frac{1}{2} \cdot \left( \sqrt{l^2 — 2la} + a \cdot \frac{d}{da} \left( \sqrt{l^2 — 2la} \right) \right)$$

Производная от $\sqrt{l^2 — 2la}$ вычисляется по цепному правилу:

$$\frac{d}{da} \left( \sqrt{l^2 — 2la} \right) = \frac{1}{2} \cdot (l^2 — 2la)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2l)$$

Теперь подставим эту производную в выражение для $S'(a)$:

$$S'(a) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 — 2la} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{-2l}{2 \sqrt{l^2 — 2la}}$$

Упростим:

$$S'(a) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 — 2la} — \frac{la}{2 \sqrt{l^2 — 2la}}$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$S'(a) = \frac{l^2 — 2la — la}{4 \sqrt{l^2 — 2la}} = \frac{l^2 — 3la}{4 \sqrt{l^2 — 2la}}$$

4. Нахождение точки максимума

Чтобы найти точку максимума, приравняем производную $S'(a)$ к нулю:

$$\frac{l^2 — 3la}{4 \sqrt{l^2 — 2la}} = 0$$

Числитель должен быть равен нулю, поскольку знаменатель всегда положителен (он выражает длину и не может быть равен нулю):

$$l^2 — 3la = 0$$

Решим это уравнение:

$$l^2 = 3la$$ $$a = \frac{l^2}{3l} = \frac{l}{3}$$

Таким образом, точка максимума для площади $S(a)$ достигается, когда $a = \frac{l}{3}$.

5. Вычисление других сторон треугольника

Теперь, зная, что $a = \frac{l}{3}$, найдем остальные стороны треугольника.

Гипотенуза:

Гипотенуза $c$ равна:

$$c = l — a = l — \frac{l}{3} = \frac{2l}{3}$$

Второй катет:

Теперь найдем второй катет $b$ с использованием ранее полученной формулы для $b$:

$$b = \sqrt{l^2 — 2la}$$

Подставляем $a = \frac{l}{3}$:

$$b = \sqrt{l^2 — 2l \cdot \frac{l}{3}} = \sqrt{l^2 — \frac{2l^2}{3}} = \sqrt{l^2 \left( 1 — \frac{2}{3} \right)} = \sqrt{l^2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}}$$

6. Ответ

Итак, катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника с максимальной площадью при $a = \frac{l}{3}$ следующие:

• $a = \frac{l}{3}$
• $b = \frac{l}{\sqrt{3}}$
• $c = \frac{2l}{3}$

Таким образом, ответ:

• Катеты $\frac{l}{3}$ и $\frac{l}{\sqrt{3}}$,
• Гипотенуза $\frac{2l}{3}$.