ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 970 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. y=2/(x2-4);
2. y=2/(x2+4);
3. y=(x-1)2(x+2);
4. y=x(x-1)3.

$y = \frac{2}{x^2 — 4} = \frac{2}{(x — 2)(x + 2)}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$;

б) Производная функция:
$y'(x) = (x^2 — 4)’ \cdot \left( \frac{2}{u} \right)’ = 2x \cdot \left( — \frac{2}{u^2} \right) = — \frac{4x}{(x^2 — 4)^2}$;

в) Стационарные точки:
$-4x = 0$, отсюда $x = 0$;

г) Значения функции:
$y(0) = \frac{2}{0^2 — 4} = \frac{2}{-4} = — \frac{1}{2}$;

д) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to \infty} y = \frac{2}{x^2} = 0$;

е) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-\infty; -2) \cup (-2; 0)$ и убывает на $(0; 2) \cup (2; +\infty)$;
$x = 0$ — точка максимума;

ж) Таблица свойств функции:

$$\overline{)\begin{array}{cccccc}x& x<-2& -2<x<0& 0<x<2& 2<x& x>2\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& +& +\\ f(x)& \nearrow & -\frac{1}{2}& \searrow & \nearrow & \nearrow \end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & x < -2 & -2 < x < 0 & 0 < x < 2 & 2 < x & x > 2 \\ \hline f'(x) & + & 0 & — & + & + \\ f(x) & \nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow & \nearrow & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

$y = \frac{2}{x^2 + 4}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$;

б) Производная функция:
$y'(x) = (x^2 + 4)’ \cdot \left( \frac{2}{u} \right)’$;
$y'(x) = 2x \cdot \left( — \frac{2}{u^2} \right) = — \frac{4x}{(x^2 + 4)^2}$;

в) Стационарные точки:
$-4x = 0$, отсюда $x = 0$;

г) Значения функции:
$y(0) = \frac{2}{0^2 + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;

д) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to \infty} y = \frac{2}{x^2} = 0$;

е) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$;
$x = 0$ — точка максимума;

ж) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < 0 & 0 < x \\ \hline f'(x) & + & — \\ f(x) & \nearrow & \searrow \\ \hline \end{array}$$

$y = (x — 1)^2 \cdot (x + 2)$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$;

б) Производная функция:
$y'(x) = (x — 1)^2 \cdot (x + 2)’ + (x — 1)’ \cdot (x + 2)^2$;
$y'(x) = 2(x — 1) \cdot (x + 2) + (x — 1)^2 \cdot 1$;
$y'(x) = 2x^2 + 4x — 2x — 4x — 4 + x^2 — 2x + x — 1 = 3x^2 — 5x — 4$;

в) Стационарные точки:
$3x^2 — 5x — 4 = 0$, отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$;

г) Значения функции:
$y(-1) = (-1 — 1)^2 \cdot (-1 + 2) = (-2)^2 \cdot 1 = 4$;
$y(1) = (1 — 1)^2 \cdot (1 + 2) = 0^2 \cdot 3 = 0$;

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и убывает на $(-1; 1)$;
$x = 1$ — точка минимума и $x = -1$ — точка максимума;

ж) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < -1 & -1 < x < 1 & x > 1 \\ \hline f'(x) & + & 0 & — \\ f(x) & \nearrow & 4 & \searrow \\ \hline \end{array}$$

$y = x \cdot (x — 1)^3$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$;

б) Производная функция:
$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x)\cdot (x-1{)}^3+x\cdot (x-1{)}^3$;
$y'(x) = 1 \cdot (x — 1)^3 + x \cdot 3(x — 1)^2$;
$y'(x) = (x — 1)^2 \cdot (4x — 3)$;

в) Стационарные точки:
$(x — 1)^2 \cdot (4x — 3) = 0$;
$x — 1 = 0$ или $4x — 3 = 0$;
$x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{3}{4}$;

г) Значения функции:
$y(1) = 1 \cdot (1 — 1)^3 = 0$;
$y\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{3}{4} — 1\right)^3 = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = — \frac{27}{256}$;

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $\left( \frac{3}{4}; +\infty \right)$ и убывает на $(-\infty; \frac{3}{4})$;
$x = \frac{3}{4}$ — точка минимума;

е) Таблица свойств функции:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& x<\frac{3}{4}& \frac{3}{4}<x<1& x>1\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& 0& +\\ f(x)& \searrow & -\frac{27}{256}& \nearrow \end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < \frac{3}{4} & \frac{3}{4} < x < 1 & x > 1 \\ \hline f'(x) & — & 0 & + \\ f(x) & \searrow & -\frac{27}{256} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

1) $y = \frac{2}{x^2 — 4} = \frac{2}{(x — 2)(x + 2)}$

а) Область определения:

Для того чтобы функция $y = \frac{2}{(x — 2)(x + 2)}$ была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, должны быть выполнены следующие условия:

$$x — 2 \neq 0 \quad \text{и} \quad x + 2 \neq 0$$

Решим:

$$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$ $$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

Таким образом, $x$ не может быть равно 2 или -2. Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$

б) Производная функция:

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$$y(x) = \frac{2}{(x — 2)(x + 2)}$$

Определим $u(x) = (x — 2)(x + 2) = x^2 — 4$, тогда $y(x) = \frac{2}{u(x)}$.

Производная функции $y(x)$ по правилу дифференцирования частного:

$$y'(x) = \frac{0 \cdot u(x) — 2 \cdot u'(x)}{[u(x)]^2}$$

Где $u'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 — 4 \right) = 2x$. Таким образом:

$$y'(x) = \frac{-2 \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} = \frac{-4x}{(x^2 — 4)^2}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки можно найти, приравняв производную к нулю:

$$y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 4)^2} = 0$$

Решение уравнения:

$$-4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

Таким образом, стационарная точка — это $x = 0$.

г) Значения функции:

Найдем значения функции в интересующих нас точках.

• Для $x = 0$:

$$y(0) = \frac{2}{0^2 — 4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$

д) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Горизонтальная асимптота существует, если предел функции $y(x)$ при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$ существует и конечен.

Найдем пределы:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2 — 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2} = 0$$

Итак, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

е) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности исследуем знак производной на интервалах:

• $y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 4)^2}$

Рассмотрим знак числителя и знаменателя.

• Числитель $-4x$ меняет знак на $x = 0$.
• Знаменатель $(x^2 — 4)^2$ всегда положителен, так как это квадрат.

Таким образом:

• Для $x < 0$, $y'(x) > 0$ — функция возрастает.
• Для $x > 0$, $y'(x) < 0$ — функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$.

Точка $x = 0$ — точка максимума.

ж) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < -2 & -2 < x < 0 & 0 < x < 2 & 2 < x & x > 2 \\ \hline f'(x) & + & 0 & — & + & + \\ f(x) & \nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow & \nearrow & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

2) $y = \frac{2}{x^2 + 4}$

а) Область определения:

Функция $y = \frac{2}{x^2 + 4}$ определена для всех значений $x$, так как знаменатель никогда не равен нулю (так как $x^2 + 4 > 0$ для всех $x$).

Таким образом, область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функция:

Используем правило дифференцирования частного:

$$y'(x) = \frac{-2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-4x}{(x^2 + 4)^2}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находим, приравняв производную к нулю:

$$y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 + 4)^2} = 0$$

Решение:

$$-4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

Таким образом, стационарная точка — это $x = 0$.

г) Значения функции:

Найдем значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = \frac{2}{0^2 + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

д) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Асимптоты:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2} = 0$$

Итак, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

е) Промежутки монотонности:

Анализируем знак производной:

• Для $x < 0$, $y'(x) > 0$ — функция возрастает.
• Для $x > 0$, $y'(x) < 0$ — функция убывает.

Точка $x = 0$ — точка максимума.

ж) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < 0 & 0 < x \\ \hline f'(x) & + & — \\ f(x) & \nearrow & \searrow \\ \hline \end{array}$$

3) $y = (x — 1)^2 \cdot (x + 2)$

а) Область определения:

Функция $y = (x — 1)^2 \cdot (x + 2)$ является полиномиальной функцией, а полиномиальные функции определены для всех значений $x$. Следовательно, область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функция:

Для нахождения производной функции воспользуемся правилом произведения:

$$y(x) = u(x) \cdot v(x), \quad u(x) = (x — 1)^2, \quad v(x) = (x + 2)$$

Производная функции $y(x)$:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Теперь найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

• $u(x) = (x — 1)^2$, $u'(x) = 2(x — 1)$
• $v(x) = (x + 2)$, $v'(x) = 1$

Подставляем в формулу:

$$y'(x) = 2(x — 1) \cdot (x + 2) + (x — 1)^2 \cdot 1$$

Упростим:

$$y'(x) = 2(x — 1)(x + 2) + (x — 1)^2$$

Теперь раскроем скобки и упростим:

$$y'(x) = 2(x^2 + 2x — x — 2) + (x^2 — 2x + 1)$$ $$y'(x) = 2(x^2 + x — 2) + (x^2 — 2x + 1)$$ $$y'(x) = 2x^2 + 2x — 4 + x^2 — 2x + 1$$ $$y'(x) = 3x^2 — 3$$

в) Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек приравниваем производную к нулю:

$$y'(x) = 3x^2 — 3 = 0$$

Решаем:

$$3x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Стационарные точки: $x = 1$ и $x = -1$.

г) Значения функции:

Найдем значения функции в точках стационарных точек $x = 1$ и $x = -1$.

• Для $x = 1$:

$$y(1) = (1 — 1)^2 \cdot (1 + 2) = 0 \cdot 3 = 0$$

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = (-1 — 1)^2 \cdot (-1 + 2) = (-2)^2 \cdot 1 = 4$$

д) Промежутки монотонности:

Исследуем знак производной $y'(x) = 3x^2 — 3$. Это квадратичная функция, которая меняет знак в точках $x = 1$ и $x = -1$.

• Для $x < -1$, $y'(x) > 0$ — функция возрастает.
• Для $-1 < x < 1$, $y'(x) < 0$ — функция убывает.
• Для $x > 1$, $y'(x) > 0$ — функция возрастает.

Таким образом, $x = -1$ — точка максимума, а $x = 1$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < -1 & -1 < x < 1 & x > 1 \\ \hline f'(x) & + & 0 & — & + \\ f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}$$

4) $y = x \cdot (x — 1)^3$

а) Область определения:

Функция $y = x \cdot (x — 1)^3$ является полиномиальной, а полиномиальные функции определены для всех значений $x$. Следовательно, область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функция:

Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

где $u(x) = x$ и $v(x) = (x — 1)^3$.

Производные:

• $u(x) = x$, $u'(x) = 1$
• $v(x) = (x — 1)^3$, $v'(x) = 3(x — 1)^2$

Подставляем в правило произведения:

$$y'(x) = 1 \cdot (x — 1)^3 + x \cdot 3(x — 1)^2$$

Упрощаем:

$$y'(x) = (x — 1)^3 + 3x(x — 1)^2$$

Вынесем общий множитель $(x — 1)^2$:

$$y'(x) = (x — 1)^2 \left[ (x — 1) + 3x \right] = (x — 1)^2 \cdot (4x — 1)$$

в) Стационарные точки:

Приравняем производную к нулю:

$$y'(x) = (x — 1)^2 \cdot (4x — 1) = 0$$

Решаем:

• $(x — 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
• $4x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4}$

Таким образом, стационарные точки: $x = 1$ и $x = \frac{1}{4}$.

г) Значения функции:

Найдем значения функции в точках стационарных точек $x = 1$ и $x = \frac{1}{4}$.

• Для $x = 1$:

$$y(1) = 1 \cdot (1 — 1)^3 = 0$$

• Для $x = \frac{1}{4}$:

$$y\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{4} — 1 \right)^3 = \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right)^3 = -\frac{27}{256}$$

д) Промежутки монотонности:

Исследуем знак производной $y'(x) = (x — 1)^2 \cdot (4x — 1)$. Знак будет зависеть от $4x — 1$, так как квадрат $(x — 1)^2$ всегда положителен.

• Для $x < \frac{1}{4}$, $y'(x) < 0$ — функция убывает.
• Для $x > \frac{1}{4}$, $y'(x) > 0$ — функция возрастает.

Точка $x = \frac{1}{4}$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & x < \frac{1}{4} & \frac{1}{4} < x \\ \hline f'(x) & — & 0 & + \\ f(x) & \searrow & -\frac{27}{256} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$