ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 969 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 148 изображён график функции у — g (х), являющейся производной функции у = f (х). Найти:

1. интервалы возрастания и убывания функции у = f(x);
2. точки экстремума функции y = f(х);
3. точки перегиба функции y = f (х).

Производная второго порядка принимает нулевые значения при тех значениях $x$, при которых производная первого порядка изменяет характер своей монотонности;

а)

1) Интервалы возрастания и убывания функции:

Возрастает на $(x_3; x_5) \cup (x_7; x_8)$;

Убывает на $(x_1; x_3) \cup (x_5; x_7)$;

2) Точки экстремума:

$x_3, x_7$ — точки минимума;

$x_5$ — точка максимума;

3) Точки перегиба:

$x_2, x_4, x_6$;

б)

1) Интервалы возрастания и убывания функции:

Возрастает на $(-10; -8) \cup (-4; -2) \cup (0; 4) \cup (6; 7)$;

Убывает на $(-8; -4) \cup (-2; 0) \cup (4; 6)$;

2) Точки экстремума:

$x_1 = -8, \, x_2 = -2, \, x_3 = 4$ — точки максимума;

$x_1 = -4, \, x_2 = 0, \, x_3 = 6$ — точки минимума;

3) Точки перегиба:

$x_1 = -6, \, x_2 = -3, \, x_3 = -1, \, x_4 = 2, \, x_5 = 5$;

1) Интервалы возрастания и убывания функции $y = f(x)$

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $y = f(x)$, используем график её производной $y = g(x)$.

Принципы анализа:

• Если $g(x) = f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.
• Если $g(x) = f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

На графике $y = g(x)$:

• Возрастание функции $f(x)$ происходит на интервалах, где график $g(x)$ находится выше оси $x$ (то есть $g(x) > 0$).
• Убывание функции $f(x)$ происходит на интервалах, где график $g(x)$ находится ниже оси $x$ (то есть $g(x) < 0$).

Шаги для нахождения интервалов:

1. Определите, на каких интервалах график $y = g(x)$ лежит выше оси $x$ (для возрастания).
2. Определите, на каких интервалах график $y = g(x)$ лежит ниже оси $x$ (для убывания).

2) Точки экстремума функции $y = f(x)$

Точки экстремума функции $y = f(x)$ соответствуют точкам, где её производная $g(x) = f'(x)$ равна нулю и меняет знак.

Принципы:

• Если на графике $y = g(x)$ функция $g(x)$ пересекает ось $x$ и меняет знак с положительного на отрицательное, то функция $f(x)$ имеет максимум в этой точке.
• Если на графике $y = g(x)$ функция $g(x)$ пересекает ось $x$ и меняет знак с отрицательного на положительный, то функция $f(x)$ имеет минимум в этой точке.

Шаги для нахождения точек экстремума:

1. Найдите точки пересечения графика $y = g(x)$ с осью $x$ (то есть, где $g(x) = 0$).
2. Определите, меняет ли график $y = g(x)$ знак с плюса на минус или с минуса на плюс в этих точках.

3) Точки перегиба функции $y = f(x)$

Точки перегиба функции $y = f(x)$ — это такие точки, в которых график функции меняет свою вогнутость. Точка перегиба соответствует точке, где вторая производная $f»(x)$ меняет знак.

Принципы:

• Точка перегиба для функции $y = f(x)$ — это точка, где график её производной $y = g(x)$ меняет свой характер (например, из возрастающего на убывающее).
• На графике $y = g(x)$ точки перегиба могут быть в точках, где график пересекает ось $x$ и меняет направление кривизны.

Шаги для нахождения точек перегиба:

1. Найдите точки, где график $y = g(x)$ пересекает ось $x$ и меняет свой характер (например, из выпуклого вогнутый).

Пример решения

а) График производной функции $y = g(x)$

Интервалы возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервалах $(x_3; x_5) \cup (x_7; x_8)$, так как на этих интервалах график $y = g(x)$ лежит выше оси $x$.
• Функция убывает на интервалах $(x_1; x_3) \cup (x_5; x_7)$, так как на этих интервалах график $y = g(x)$ находится ниже оси $x$.Точки экстремума:

• Точки экстремума функции $f(x)$ будут находиться в точках пересечения графика $y = g(x)$ с осью $x$, а именно:
  • $x_3$ и $x_7$ — точки минимума, так как $g(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный в этих точках.
  • $x_5$ — точка максимума, так как $g(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный в этой точке.

3. Точки перегиба:

• Точки перегиба функции $f(x)$ — это точки, где график $y = g(x)$ меняет направление, и такие точки лежат в точках $x_2, x_4, x_6$, где график меняет свою кривизну.

б) Второй пример

Интервалы возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервалах:
  • $(-10; -8)$,
  • $(-4; -2)$,
  • $(0; 4)$,
  • $(6; 7)$.
• Функция убывает на интервалах:
  • $(-8; -4)$,
  • $(-2; 0)$,
  • $(4; 6)$.

Точки экстремума:

• Точки экстремума функции $f(x)$ — это:
  • $x_1 = -8, x_2 = -2, x_3 = 4$ — точки максимума.
  • $x_1 = -4, x_2 = 0, x_3 = 6$ — точки минимума.

Точки перегиба:

• Точки перегиба функции $f(x)$ находятся в точках $x_1 = -6, x_2 = -3, x_3 = -1, x_4 = 2, x_5 = 5$, где график $y = g(x)$ меняет свою кривизну.

Итог:

• Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $f(x)$, мы используем знак графика её производной $g(x)$ на разных интервалах.
• Для нахождения точек экстремума функции $f(x)$, важно отметить, где график $g(x)$ пересекает ось $x$ и меняет свой знак.
• Точки перегиба функции $f(x)$ соответствуют точкам, где график $g(x)$ меняет свою кривизну.