ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 967 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция у=х( 1 + 2 корень х) возрастает на всей области определения.

$$y = x \cdot (1 + 2\sqrt{x});$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ \cdot (1 + 2\sqrt{x}) + x \cdot (1 + 2\sqrt{x})’;$$ $$y'(x) = 1 + 2\sqrt{x} + x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}};$$ $$y'(x) = 1 + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} = 1 + 3\sqrt{x};$$

Промежуток возрастания:

$$1 + 3\sqrt{x} > 0;$$ $$3\sqrt{x} > -1;$$ $$\sqrt{x} > -\frac{1}{3} \quad \text{при любом } x;$$

Таким образом, функция возрастает на всей области определения, что и требовалось доказать.

Шаг 1: Применение правила произведения

Функция $y = x \cdot (1 + 2\sqrt{x})$ — это произведение двух функций:

• Первая функция: $u(x) = x$,
• Вторая функция: $v(x) = 1 + 2\sqrt{x}$.

Для нахождения производной функции, будем использовать правило дифференцирования произведения. Правило гласит, что для функции вида $y = u(x) \cdot v(x)$ производная будет:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).$$

Шаг 2: Нахождение производной

2.1. Производная первой функции $u(x) = x$

Производная от $x$ по $x$ просто равна 1:

$$u'(x) = 1.$$

2.2. Производная второй функции $v(x) = 1 + 2\sqrt{x}$

Теперь найдем производную от второй функции. Чтобы найти производную от $v(x) = 1 + 2\sqrt{x}$, нужно воспользоваться правилом дифференцирования степени. Помним, что:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Таким образом:

$$v'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + 2\sqrt{x} \right) = 0 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Шаг 3: Применение формулы для производной

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).$$

Подставляем $u'(x) = 1$, $v(x) = 1 + 2\sqrt{x}$, и $u(x) = x$, $v'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$:

$$y'(x) = 1 \cdot (1 + 2\sqrt{x}) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Теперь упростим выражение:

$$y'(x) = 1 + 2\sqrt{x} + \frac{x}{\sqrt{x}} = 1 + 2\sqrt{x} + \sqrt{x}.$$

Собираем подобные члены:

$$y'(x) = 1 + 3\sqrt{x}.$$

Шаг 4: Исследование знака производной

Для того чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, нужно исследовать знак производной $y'(x)$.

Функция возрастает, если производная положительна:

$$y'(x) > 0.$$

Подставим выражение для производной:

$$1 + 3\sqrt{x} > 0.$$

Решим неравенство:

$$3\sqrt{x} > -1.$$

Поскольку $\sqrt{x} \geq 0$ при $x \geq 0$, то неравенство всегда выполняется, так как квадратный корень из $x$ не может быть отрицательным. Более того, для всех $x \geq 0$ выражение $3\sqrt{x}$ всегда будет больше 0.

Таким образом, неравенство $3\sqrt{x} > -1$ всегда выполняется для всех $x \geq 0$.

Шаг 5: Область определения функции и выводы

Так как функция $\sqrt{x}$ определена только для $x \geq 0$, то функция $y'(x) = 1 + 3\sqrt{x}$ также определена только для $x \geq 0$.

Исследование знака показало, что для всех $x \geq 0$ производная положительна:

$$y'(x) > 0 \quad \text{для всех} \, x \geq 0.$$

Это означает, что функция $y = x \cdot (1 + 2\sqrt{x})$ возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

Окончательный ответ:

Функция $y = x \cdot (1 + 2\sqrt{x})$ возрастает на всей области определения $[0, \infty)$.