ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 965 Алимов — Подробные Ответы

Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Пусть $a$ — длина стороны основания и $h$ — высота, тогда:

$$S = 2S_{\text{осн}} + 4S_{\text{бок}} = 2a^2 + 4ah = 600, \text{ отсюда } h = \frac{150}{a} — \frac{a}{2};$$ $$V(x) = S_{\text{осн}} \cdot h = a^2 \cdot h = a^2 \cdot \left( \frac{150}{a} — \frac{a}{2} \right) = 150a — \frac{a^3}{2};$$

Производная функции:

$$V'(x) = (150a)’ — \frac{1}{2} \cdot (a^3)’ = 150 — \frac{3}{2}a^2;$$

Промежуток возрастания:

$$150 — 1.5a^2 > 0;$$ $$100 — a^2 > 0;$$ $$a^2 < 100;$$ $$-10 < a < 10;$$

Искомые значения:

$$a = 10 \, (\text{см}) \text{ — точка максимума; }$$ $$h = \frac{150}{10} — \frac{10}{2} = 15 — 5 = 10 \, (\text{см});$$

Ответ: куб с ребром 10 см.

Шаг 1: Ввод обозначений

Обозначим:

• $a$ — длина стороны основания (основание — квадрат),
• $h$ — высота призмы (перпендикуляр к основанию).

Шаг 2: Площадь поверхности

Площадь поверхности прямоугольной призмы равна:

$$S = 2 \cdot S_{\text{осн}} + 4 \cdot S_{\text{бок}},$$

где:

• $2a^2$ — площадь двух оснований (верх и низ),
• $4ah$ — площадь четырёх боковых прямоугольников (все одинаковые: $a \times h$).

Подставим:

$$S = 2a^2 + 4ah.$$

По условию:

$$2a^2 + 4ah = 600.$$

Разделим обе части на 4, чтобы упростить:

$$\frac{2a^2}{4} + ah = 150 \Rightarrow \frac{a^2}{2} + ah = 150.$$

Из этого уравнения выразим $h$:

$$ah = 150 — \frac{a^2}{2}.$$

Разделим обе части на $a$ (при $a \ne 0$):

$$h = \frac{150}{a} — \frac{a}{2}.$$

Шаг 3: Объём призмы

Формула объёма призмы:

$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = a^2 \cdot h.$$

Подставим ранее найденное выражение для $h$:

$$V(a) = a^2 \cdot \left( \frac{150}{a} — \frac{a}{2} \right).$$

Выполним умножение:

$$V(a) = a^2 \cdot \frac{150}{a} — a^2 \cdot \frac{a}{2} = 150a — \frac{a^3}{2}.$$

Шаг 4: Производная объёма

Для нахождения максимума найдём первую производную $V'(a)$:

$$V(a) = 150a — \frac{a^3}{2},$$ $$V'(a) = \frac{d}{da}(150a) — \frac{d}{da}\left( \frac{a^3}{2} \right) = 150 — \frac{3}{2}a^2.$$

Шаг 5: Найдём критическую точку

Приравняем производную к нулю:

$$V'(a) = 150 — \frac{3}{2}a^2 = 0.$$

Решим:

$$\frac{3}{2}a^2 = 150 \Rightarrow a^2 = \frac{150 \cdot 2}{3} = 100 \Rightarrow a = \sqrt{100} = 10.$$

(Т.к. длина не может быть отрицательной, берём $a = 10$ см.)

Шаг 6: Проверим максимум через знак производной

Проверим знак производной:

• При $a < 10$: $a^2 < 100 \Rightarrow V'(a) > 0$ — объём растёт.
• При $a > 10$: $a^2 > 100 \Rightarrow V'(a) < 0$ — объём убывает.

Значит, в точке $a = 10$ — максимум.

Шаг 7: Найдём высоту $h$

Ранее нашли:

$$h = \frac{150}{a} — \frac{a}{2}.$$

Подставим $a = 10$:

$$h = \frac{150}{10} — \frac{10}{2} = 15 — 5 = 10.$$

Шаг 8: Найдём объём

$$V = a^2 \cdot h = 10^2 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000 \, \text{см}^3.$$

Итог

При максимальном объёме:

• $a = 10 \, \text{см}$,
• $h = 10 \, \text{см}$.

Это значит, что все размеры равны — фигура представляет собой куб.

Ответ: куб с ребром 10 см.