ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 960 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Построить график функции:

y=x3/3 + 3×2;
y=-x4/4 + x2.

Краткий ответ:

$y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ ;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’;$
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x = x^2 + 6x;$

в) Стационарные точки:
$x^2 + 6x = 0;$
$(x + 6) \cdot x = 0;$
$x_1 = -6 \text{ и } x_2 = 0;$

г) Значения функции:
$f(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3 \cdot (-6)^2 = \frac{-216}{3} + 3 \cdot 36 = -72 + 108 = 36;$
$f(0) = \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-∞; -6) \cup (0; +∞)$ и убывает на $(-6; 0)$ ;
$x = 0$ — точка минимума и $x = -6$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < 0$	$0$	$x > 0$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$36$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

$y = -\frac{x^4}{4} + x^2$ ;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = -\frac{1}{4} \cdot (x^4)’ + (x^2)’;$
$y'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = -x^3 + 2x;$

в) Стационарные точки:
$-x^3 + 2x = 0;$
$x \cdot (2 — x^2) = 0;$
$(\sqrt{2} + x) \cdot x \cdot (\sqrt{2} — x) = 0;$
$x_1 = -\sqrt{2}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{2};$

г) Значения функции:
$f(\pm \sqrt{2}) = -\frac{(\pm \sqrt{2})^4}{4} + (\pm \sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = -1 + 2 = 1;$
$f(0) = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-∞; -\sqrt{2}) \cup (0; \sqrt{2})$ и убывает на $(- \sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +∞)$ ;
$x = 0$ — точка минимума и $x = \pm \sqrt{2}$ — точки максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2} < x < 0$	$0$	$0 < x < \sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$x > \sqrt{2}$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$

Подробный ответ:

1) $y = \dfrac{x^3}{3} + 3x^2$

а) Область определения

Функция состоит из многочленов $\dfrac{x^3}{3}$ и $3x^2$ , определённых на всей числовой прямой:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Найдём производную $y'(x)$

Применим правила дифференцирования:

$\left( \dfrac{x^3}{3} \right)’ = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
$(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$

Складываем:

$y'(x) = x^2 + 6x$

в) Стационарные точки — решаем $y'(x) = 0$

$x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x + 6) = 0$

Отсюда:

$x_1 = -6,\quad x_2 = 0$

г) Значения функции в критических точках

1. $f(-6) = \dfrac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = \dfrac{-216}{3} + 108 = -72 + 108 = 36$

2. $f(0) = \dfrac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0$

д) Исследование монотонности

Исследуем знак производной на интервалах, определённых критическими точками:

Интервалы: $(-\infty, -6)$ , $(-6, 0)$ , $(0, +\infty)$

Подставляем значения в производную:

$x = -7 \Rightarrow y'(-7) = 49 — 42 = 49 + 6 \cdot (-7) = 49 — 42 = 7 > 0$
$x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 1 + (-6) = -5 < 0$
$x = 1 \Rightarrow y'(1) = 1 + 6 = 7 > 0$

е) Вывод:

Интервал	Знак $y'(x)$	Поведение функции $y$
$(-\infty, -6)$	$+$	Возрастает
$(-6, 0)$	$—$	Убывает
$(0, +\infty)$	$+$	Возрастает

$x = -6$ — максимум: $f(-6) = 36$
$x = 0$ — минимум: $f(0) = 0$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -6$	$-6$	$-6 < x < 0$	$0$	$x > 0$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$36$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

2) $y = -\dfrac{x^4}{4} + x^2$

а) Область определения

Это многочлен — определён при всех значениях $x$ :

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Найдём производную

$\left( -\dfrac{x^4}{4} \right)’ = -\dfrac{1}{4} \cdot 4x^3 = -x^3$
$(x^2)’ = 2x$

Складываем:

$y'(x) = -x^3 + 2x$

в) Найдём стационарные точки

Решаем:

$y'(x) = -x^3 + 2x = 0 \Rightarrow x(-x^2 + 2) = 0$

Разложим:

$x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$

Корни:

$x_1 = -\sqrt{2},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{2}$

г) Значения функции

$f(\pm \sqrt{2}) = -\dfrac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = -\dfrac{4}{4} + 2 = -1 + 2 = 1$ $f(0) = -\dfrac{0^4}{4} + 0^2 = 0$

д) Исследуем монотонность

Интервалы:

$(-\infty,\ -\sqrt{2})$
$(-\sqrt{2},\ 0)$
$(0,\ \sqrt{2})$
$(\sqrt{2},\ +\infty)$

Подставим значения:

$x = -2 \Rightarrow y'(-2) = -(-8) + (-4) = 8 — 4 = 4 > 0$
$x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 1 + 2 = 3 > 0$
$x = 1 \Rightarrow y'(1) = -1 + 2 = 1 > 0$
$x = 2 \Rightarrow y'(2) = -8 + 4 = -4 < 0$

Но это даёт неверную картину — пересчитаем с вниманием:

$y'(x) = -x^3 + 2x = x(-x^2 + 2)$

Теперь анализ:

На $(-\infty, -\sqrt{2})$ : $x < 0$ , $-x^2 + 2 < 0$ ⇒ $(-) \cdot (-) = +$
На $(-\sqrt{2}, 0)$ : $x < 0$ , $-x^2 + 2 > 0$ ⇒ $(-) \cdot (+) = —$
На $(0, \sqrt{2})$ : $x > 0$ , $-x^2 + 2 > 0$ ⇒ $(+) \cdot (+) = +$
На $(\sqrt{2}, \infty)$ : $x > 0$ , $-x^2 + 2 < 0$ ⇒ $(+) \cdot (-) = —$

е) Вывод:

Интервал	Знак $y'(x)$	Поведение $y$
$(-\infty, -\sqrt{2})$	$+$	Возрастает
$(-\sqrt{2}, 0)$	$—$	Убывает
$(0, \sqrt{2})$	$+$	Возрастает
$(\sqrt{2}, \infty)$	$—$	Убывает

Максимумы: $x = \pm \sqrt{2}$ , $y = 1$
Минимум: $x = 0$ , $y = 0$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2} < x < 0$	$0$	$0 < x < \sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$x > \sqrt{2}$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы