ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 960 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. y=x3/3 + 3×2;
2. y=-x4/4 + x2.

$y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’;$
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x = x^2 + 6x;$

в) Стационарные точки:
$x^2 + 6x = 0;$
$(x + 6) \cdot x = 0;$
$x_1 = -6 \text{ и } x_2 = 0;$

г) Значения функции:
$f(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3 \cdot (-6)^2 = \frac{-216}{3} + 3 \cdot 36 = -72 + 108 = 36;$
$f(0) = \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-∞; -6) \cup (0; +∞)$ и убывает на $(-6; 0)$;
$x = 0$ — точка минимума и $x = -6$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$y = -\frac{x^4}{4} + x^2$;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = -\frac{1}{4} \cdot (x^4)’ + (x^2)’;$
$y'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = -x^3 + 2x;$

в) Стационарные точки:
$-x^3 + 2x = 0;$
$x \cdot (2 — x^2) = 0;$
$(\sqrt{2} + x) \cdot x \cdot (\sqrt{2} — x) = 0;$
$x_1 = -\sqrt{2}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{2};$

г) Значения функции:
$f(\pm \sqrt{2}) = -\frac{(\pm \sqrt{2})^4}{4} + (\pm \sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = -1 + 2 = 1;$
$f(0) = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-∞; -\sqrt{2}) \cup (0; \sqrt{2})$ и убывает на $(- \sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +∞)$;
$x = 0$ — точка минимума и $x = \pm \sqrt{2}$ — точки максимума;

е) Таблица свойств функции:

1) $y = \dfrac{x^3}{3} + 3x^2$

а) Область определения

Функция состоит из многочленов $\dfrac{x^3}{3}$ и $3x^2$, определённых на всей числовой прямой:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Найдём производную $y'(x)$

Применим правила дифференцирования:

• $\left( \dfrac{x^3}{3} \right)’ = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
• $(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$

Складываем:

$$y'(x) = x^2 + 6x$$

в) Стационарные точки — решаем $y'(x) = 0$

$$x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x + 6) = 0$$

Отсюда:

$$x_1 = -6,\quad x_2 = 0$$

г) Значения функции в критических точках

1. $f(-6) = \dfrac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = \dfrac{-216}{3} + 108 = -72 + 108 = 36$

2. $f(0) = \dfrac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 = 0$

д) Исследование монотонности

Исследуем знак производной на интервалах, определённых критическими точками:

• Интервалы: $(-\infty, -6)$, $(-6, 0)$, $(0, +\infty)$

Подставляем значения в производную:

1. $x = -7 \Rightarrow y'(-7) = 49 — 42 = 49 + 6 \cdot (-7) = 49 — 42 = 7 > 0$
2. $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 1 + (-6) = -5 < 0$
3. $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 1 + 6 = 7 > 0$

е) Вывод:

• $x = -6$ — максимум: $f(-6) = 36$
• $x = 0$ — минимум: $f(0) = 0$

ж) Таблица свойств функции:

2) $y = -\dfrac{x^4}{4} + x^2$

а) Область определения

Это многочлен — определён при всех значениях $x$:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Найдём производную

• $\left( -\dfrac{x^4}{4} \right)’ = -\dfrac{1}{4} \cdot 4x^3 = -x^3$
• $(x^2)’ = 2x$

Складываем:

$$y'(x) = -x^3 + 2x$$

в) Найдём стационарные точки

Решаем:

$$y'(x) = -x^3 + 2x = 0 \Rightarrow x(-x^2 + 2) = 0$$

Разложим:

$$x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$$

Корни:

$$x_1 = -\sqrt{2},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{2}$$

г) Значения функции

$$f(\pm \sqrt{2}) = -\dfrac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = -\dfrac{4}{4} + 2 = -1 + 2 = 1$$ $$f(0) = -\dfrac{0^4}{4} + 0^2 = 0$$

д) Исследуем монотонность

Интервалы:

• $(-\infty,\ -\sqrt{2})$
• $(-\sqrt{2},\ 0)$
• $(0,\ \sqrt{2})$
• $(\sqrt{2},\ +\infty)$

Подставим значения:

1. $x = -2 \Rightarrow y'(-2) = -(-8) + (-4) = 8 — 4 = 4 > 0$
2. $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 1 + 2 = 3 > 0$
3. $x = 1 \Rightarrow y'(1) = -1 + 2 = 1 > 0$
4. $x = 2 \Rightarrow y'(2) = -8 + 4 = -4 < 0$

Но это даёт неверную картину — пересчитаем с вниманием:

$y'(x) = -x^3 + 2x = x(-x^2 + 2)$

Теперь анализ:

• На $(-\infty, -\sqrt{2})$: $x < 0$, $-x^2 + 2 < 0$ ⇒ $(-) \cdot (-) = +$
• На $(-\sqrt{2}, 0)$: $x < 0$, $-x^2 + 2 > 0$ ⇒ $(-) \cdot (+) = —$
• На $(0, \sqrt{2})$: $x > 0$, $-x^2 + 2 > 0$ ⇒ $(+) \cdot (+) = +$
• На $(\sqrt{2}, \infty)$: $x > 0$, $-x^2 + 2 < 0$ ⇒ $(+) \cdot (-) = —$

е) Вывод:

• Максимумы: $x = \pm \sqrt{2}$, $y = 1$
• Минимум: $x = 0$, $y = 0$

ж) Таблица свойств функции: