ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 956 Алимов — Подробные Ответы

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. у = 2х3 + Зх2 — 2;
2. у = 2×3/3 — х2 — 4х + 5;
3. у = 3/x -1;
4. у = 2/ (х-3).

$y = 2x^3 + 3x^2 — 2$;

$y'(x) = 2 \cdot (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’ — (2)’$;

$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x — 0$;

$y'(x) = 6x^2 + 6x$;

Промежуток возрастания:

$6x^2 + 6x > 0$;

$(x + 1) \cdot 6x > 0$;

$x < -1$ или $x > 0$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ и убывает на $(-1; 0)$.

$y = \frac{2}{3}x^3 — x^2 — 4x + 5$;

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot (x^3)’ — (x^2)’ — (4x — 5)’$;

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 — 2x — 4$;

$y'(x) = 2x^2 — 2x — 4$;

Промежуток возрастания:

$2x^2 — 2x — 4 > 0$;

$x^2 — x — 2 > 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

$(x + 1)(x — 2) \geq 0$;

$x < -1$ или $x > 2$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$ и убывает на $(-1; 2)$.

$y = \frac{3}{x} — 1$;

$y'(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ — (1)’ = 3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — 0 = -\frac{3}{x^2}$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{3}{x^2} > 0$;

$x^2 < -3$ — нет корней;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

Ответ: убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

$y = \frac{2}{x — 3}$;

Пусть $u = x — 3$, тогда $y(u) = \frac{2}{u}$;

$f'(x) = (x — 3)’ \cdot \left( \frac{2}{u} \right)’$;

$f'(x) = 1 \cdot 2 \cdot \left( -\frac{1}{u^2} \right) = -\frac{2}{(x — 3)^2}$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{2}{(x — 3)^2} > 0$;

$(x — 3)^2 \leq 2$ — нет корней;

Выражение имеет смысл при:

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x = 3$;

Ответ: убывает на $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

1) $y = 2x^3 + 3x^2 — 2$

Шаг 1: Найдём первую производную

Используем правила производных для степенных функций:

• $(x^n)’ = nx^{n-1}$

$$y'(x) = \frac{d}{dx}[2x^3] + \frac{d}{dx}[3x^2] — \frac{d}{dx}[2]$$

Выписываем по отдельности:

• $\frac{d}{dx}[2x^3] = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$
• $\frac{d}{dx}[3x^2] = 3 \cdot 2x = 6x$
• $\frac{d}{dx}[2] = 0$

Собираем:

$$y'(x) = 6x^2 + 6x$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Решим неравенство для возрастания:

$$6x^2 + 6x > 0 \Rightarrow 6x(x + 1) > 0$$

Разделим обе части на 6 (знак не меняется, потому что 6 > 0):

$$x(x + 1) > 0$$

Решаем методом интервалов:

• Нули: $x = -1$, $x = 0$
• Знаки на интервалах:
  • $x < -1$: оба множителя отрицательны → положительное произведение
  • $-1 < x < 0$: $x < 0$, $x + 1 > 0$ → отрицательное произведение
  • $x > 0$: оба положительные → положительное произведение

$$\Rightarrow y'(x) > 0 \text{ при } x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$

А значит, функция:

• возрастает на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$
• убывает на $(-1; 0)$

Ответ:
Возрастает на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$
Убывает на $(-1; 0)$

2) $y = \frac{2}{3}x^3 — x^2 — 4x + 5$

Шаг 1: Первая производная

Воспользуемся правилом для каждого слагаемого:

• $\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3}x^3 \right) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = 2x^2$
• $\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x$
• $\frac{d}{dx}(-4x) = -4$
• $\frac{d}{dx}(5) = 0$

Итак:

$$y'(x) = 2x^2 — 2x — 4$$

Шаг 2: Найдём промежутки знака производной

$$2x^2 — 2x — 4 > 0 \Rightarrow x^2 — x — 2 > 0 \quad \text{(разделили на 2)}$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = -1,\ x_2 = 2$$

Знаки на интервалах:

• $x < -1$: обе скобки отрицательные → положительное
• $-1 < x < 2$: скобки разного знака → отрицательное
• $x > 2$: обе скобки положительные → положительное

$$\Rightarrow y'(x) > 0 \text{ при } x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$$

Значит, функция:

• возрастает на $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$
• убывает на $(-1; 2)$

Ответ:
Возрастает на $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$
Убывает на $(-1; 2)$

3) $y = \frac{3}{x} — 1$

Шаг 1: Первая производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{3}{x} \right) — \frac{d}{dx}(1) = 3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — 0 = -\frac{3}{x^2}$$

Шаг 2: Знак производной

$$y'(x) = -\frac{3}{x^2}$$

Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, то:

• $-\frac{3}{x^2} < 0$ при любом $x \ne 0$

Шаг 3: Область определения

Функция определена при $x \ne 0$

Вывод:

Производная всегда отрицательна, значит функция всегда убывает (на своём ОДЗ).

Ответ:
Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

4) $y = \frac{2}{x — 3}$

Шаг 1: Первая производная

Представим функцию как $y = 2(x — 3)^{-1}$

Используем правило:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n — 1} \Rightarrow y'(x) = 2 \cdot (-1)(x — 3)^{-2} = -\frac{2}{(x — 3)^2}$$

Шаг 2: Знак производной

Поскольку квадрат в знаменателе всегда положителен (кроме точки $x = 3$, где выражение не определено):

$$y'(x) = -\frac{2}{(x — 3)^2} < 0 \text{ при } x \ne 3$$

Шаг 3: Область определения

Функция не определена при $x = 3$

Вывод:

Функция всегда убывает, кроме точки разрыва $x = 3$

Ответ:
Убывает на $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$