ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 952 Алимов — Подробные Ответы

Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?

Отобразим условие задачи:

Пусть $x$ — ширина досок и $a$ — угол наклона к основанию, тогда:

$$h = AM = DN = AB \cdot \sin \angle BAM = x \cdot \sin a;$$ $$BM = CN = AB \cdot \cos \angle BAM = x \cdot \cos a;$$ $$BC = AD + BM + CN = x + 2x \cdot \cos a;$$

Сечение желоба имеет форму равнобокой трапеции, следовательно:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AD + BC) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sin a \cdot (x + x + 2x \cdot \cos a);$$ $$S(x) = \frac{x \cdot \sin a \cdot 2x \cdot (1 + \cos a)}{2} = x^2 \cdot \sin a \cdot (1 + \cos a);$$ $$S(x) = x^2 \cdot (\sin a + \sin a \cdot \cos a) = x^2 \cdot \left( \sin a + \frac{1}{2} \sin 2a \right);$$

Производная функции:

$$S'(a) = x^2 \cdot \left( (\sin a)’ + \frac{1}{2} \cdot (\sin 2a)’ \right);$$ $$S'(a) = x^2 \cdot \left( \cos a + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2a \right);$$ $$S'(a) = x^2 \cdot (\cos a + \cos 2a);$$

Промежуток возрастания:

$$\cos a + \cos 2a = 0;$$ $$\cos a + \cos^2 a — \sin^2 a = 0;$$ $$\cos a + \cos^2 a — 1 + \cos^2 a = 0;$$ $$2 \cos^2 a + \cos a — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos a$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$ $$(y + 1)(y — 0.5) > 0;$$ $$y < -1 \quad \text{или} \quad y > 0.5;$$

Первое неравенство:

$$\cos x \leq -1 \quad \text{— нет корней};$$

Второе неравенство:

$$\cos x \geq \frac{1}{2};$$ $$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые значения:

$$a = \frac{\pi}{3} \quad \text{— точка максимума};$$ $$\angle BAM = 90^\circ — a = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6};$$ $$\angle BAD = \angle BAM + 90^\circ = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\boxed{\frac{2\pi}{3}}$.

Из трёх досок одинаковой ширины $x$ сколачивается жёлоб, который в поперечном сечении имеет форму равнобокой трапеции:

• Одна доска лежит горизонтально — это основание (нижняя грань).
• Две другие доски — боковые стенки, наклонённые под углом $a$ к основанию.

Нужно найти такой угол $a$, при котором площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей.

Шаг 1. Построение модели (геометрия)

Обозначим:

• $x$ — ширина каждой доски (одинакова для всех).
• $a$ — угол наклона боковых досок к горизонтальному основанию.
• Конструкция образует равнобокую трапецию — основание горизонтальное, боковые стороны под углом.

Обозначения на рисунке:

Пусть точки трапеции:

• $A$ и $D$ — нижние концы боковых досок.
• $B$ и $C$ — верхние концы боковых досок.
• $AD = x$ — нижняя доска.
• $AB$ и $CD$ — наклонные боковые доски длиной $x$.

Из точек $B$ и $C$ опустим перпендикуляры на основание — получим высоту трапеции.

Шаг 2. Выразим высоту трапеции

Каждая боковая доска образует с основанием угол $a$.
Высота трапеции (перпендикуляр от вершины к основанию):

$$h = x \cdot \sin a$$

Пояснение: боковая доска длиной $x$ образует угол $a$ с основанием, и её вертикальная составляющая — $x \cdot \sin a$.

Шаг 3. Выразим длину верхнего основания трапеции

Каждая боковая доска также даёт горизонтальный отступ:

$$\text{горизонтальный отступ от наклонной доски} = x \cdot \cos a$$

Значит, длина верхнего основания трапеции (между концами наклонных досок):

$$\text{верхнее основание} = AD + 2 \cdot x \cdot \cos a = x + 2x \cdot \cos a = x(1 + 2\cos a)$$

Шаг 4. Площадь трапеции (сечения жёлоба)

Формула площади трапеции:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{высота} \cdot (\text{нижнее основание} + \text{верхнее основание})$$

Подставим:

• Высота: $x \cdot \sin a$
• Нижнее основание: $x$
• Верхнее основание: $x + 2x \cdot \cos a$

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sin a \cdot (x + x + 2x \cdot \cos a)$$ $$S(a) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sin a \cdot x(2 + 2\cos a)$$ $$S(a) = \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \sin a \cdot 2(1 + \cos a)$$ $$S(a) = x^2 \cdot \sin a \cdot (1 + \cos a)$$

Шаг 5. Упростим выражение с тригонометрией

Раскроем с использованием формул:

$$\sin a \cdot (1 + \cos a) = \sin a + \sin a \cdot \cos a$$

Также вспомним:

$$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{2} \cdot \sin 2a$$

Тогда:

$$S(a) = x^2 \cdot \left( \sin a + \frac{1}{2} \sin 2a \right)$$

Шаг 6. Найдём производную площади

Найдём $S'(a)$:

$$S'(a) = x^2 \cdot \left( \cos a + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2a \right)$$ $$S'(a) = x^2 \cdot (\cos a + \cos 2a)$$

Ищем максимум ⇒ приравниваем производную к нулю:

$$\cos a + \cos 2a = 0$$

Шаг 7. Решим уравнение $\cos a + \cos 2a = 0$

Подставим формулу:

$$\cos 2a = 2\cos^2 a — 1$$

Тогда:

$$\cos a + 2\cos^2 a — 1 = 0$$

Обозначим $y = \cos a$:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 — 3}{4} = -1$$

Шаг 8. Найдём соответствующие углы $a$

Поскольку $y = \cos a$, то:

• $\cos a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$
• $\cos a = -1 \Rightarrow a = \pi$ — неподходящий случай, так как угол наклона должен быть $0 < a < \frac{\pi}{2}$

Итак, возможен только:

$$a = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 9. Проверим — это максимум?

Рассмотрим производную:

$$S'(a) = x^2(\cos a + \cos 2a)$$

Если производная меняет знак с + на — при $a = \frac{\pi}{3}$, то это максимум.

Подставим значения:

• $\cos a = \frac{1}{2}$
• $\cos 2a = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
• $\cos a + \cos 2a = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 0$

Производная меняет знак ⇒ точка экстремума есть, и поскольку функция сначала возрастает, а потом убывает, это максимум.

Шаг 10. Переведём в угол наклона боковой доски к вертикали

По условию:

• Угол наклона боковых досок к основанию: $a = \frac{\pi}{3}$
• Тогда угол между боковой доской и вертикалью:

$$\angle BAM = 90^\circ — a = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$

• Угол $\angle BAD = \angle BAM + 90^\circ = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3}}$$